border=0


Ako skúmať funkciu spojitosti?




Štúdium funkcie kontinuity v bode sa vykonáva podľa už rozvinutej rutiny, ktorá spočíva v kontrole troch podmienok kontinuity:

Príklad 1

Preskúmajte funkciu o kontinuite. Určite povahu diskontinuít funkcie, ak existujú. Vytvorte kresbu.

Riešenie :

1) Jeden bod patrí do rozsahu pôsobnosti v ktorých funkcia nie je definovaná.

2) Vypočítame jednostranné limity:

Jednostranné limity sú konečné a rovnaké.

Takže v tomto okamihu funkcia trpí odstrániteľnou medzerou.

Ako vyzerá graf tejto funkcie?

Chcem to zjednodušiť a zdá sa, že ide o obyčajnú parabolu. Ale pôvodná funkcia nie je v tomto bode definovaná Z tohto dôvodu je povinné nasledujúce vyhlásenie:

Poďme vykonať výkres:

Odpoveď : funkcia je súvislá na celom riadku s výnimkou bodu v ktorej trpí odstrániteľnou prestávkou.

Funkciu je možné nadefinovať dobre alebo nie veľmi dobre, ale podmienkou to nie je potrebné.

Hovoríte priťahovaný príklad? Vôbec nie. V praxi sa stretli desiatky časov. Takmer všetky úlohy stránky pochádzajú zo skutočnej nezávislej a kontrolnej práce.

Budeme sa zaoberať našimi obľúbenými modulmi:

Príklad 2

Preskúmajte funkciu o kontinuite. Určite povahu diskontinuít funkcie, ak existujú. Vytvorte kresbu.

Riešenie : z nejakého dôvodu sa študenti boja a nemajú radi funkcie s modulom, hoci v nich nie je nič zložité. Týchto vecí sme sa už trochu dotkli v lekcii Geometrické transformácie grafov . Pretože modul nie je negatívny, rozširuje sa nasledovne: kde "alfa" je nejaký výraz. V tomto prípade a naša funkcia by sa mala podpisovať po častiach:

Zlomky oboch kúskov sa však musia znížiť o 0,5% , Zníženie, rovnako ako v predchádzajúcom príklade, nebude bez následkov. Zdrojová funkcia nie je v bode definovaná , keď menovateľ zmizol. Systém by preto mal navyše uvádzať stav a prvá nerovnosť sprísniť:

Teraz o veľmi užitočnom rozhodovaní : pred dokončením úlohy na návrhu je výhodné vytvoriť výkres (bez ohľadu na to, či je to podmienkou alebo nie). To na jednej strane pomôže okamžite zistiť body kontinuity a body prerušenia a po druhé, 100% ušetrí z chýb pri hľadaní jednostranných limitov.

Poďme si nakresliť. V súlade s našimi výpočtami vľavo od bodu je potrebné nakresliť fragment paraboly (modrá) a napravo je kúsok paraboly (červená), zatiaľ čo funkcia nie je definovaná v samotnom bode :

Ak máte pochybnosti, zoberte niekoľko hodnôt „X“ a nahraďte ich funkciou (nezabudnite, že modul zničí možné znamienko mínus) a skontrolujte rozvrh.


border=0


Analyticky študujeme funkciu kontinuity:

1) Funkcia nie je v tomto bode definovaná , preto môžeme okamžite povedať, že v nej nie je kontinuálne.

2) Stanovíme povahu medzery, pre ktorú vypočítame jednostranné limity:

Jednostranné limity sú konečné a rôzne, čo znamená, že funkcia je prerušovaná prvého druhu so skokom v bode , Nezabudnite, že nezáleží na tom, či je funkcia definovaná v bode prerušenia alebo nie.

Teraz je potrebné preniesť kresbu z konceptu (bola vytvorená akoby pomocou výskumov ;-)) a dokončiť úlohu:

Odpoveď : funkcia je súvislá na celom riadku s výnimkou bodu v ktorej trpí prestávkou prvého druhu so skokom.

Niekedy je potrebné dodatočne označiť skok v medzere. Vypočíta sa elementárne - od pravého limitu musíte odpočítať ľavý limit: , to znamená, že v bode zlomu naša funkcia skočila o 2 jednotky nadol (podľa znamienka mínus).

Príklad 3

Preskúmajte funkciu o kontinuite. Určite povahu diskontinuít funkcie, ak existujú. Vytvorte kresbu.

Toto je príklad nezávislého riešenia, približný príklad riešenia na konci hodiny.

Prejdime k najpopulárnejšej a najbežnejšej verzii úlohy, keď funkcia pozostáva z troch častí:

Príklad 4

Preskúmajte funkciu z hľadiska kontinuity a vykreslite funkciu

,

Riešenie : Je zrejmé, že všetky tri časti funkcie sú súvislé v zodpovedajúcich intervaloch, takže zostáva skontrolovať iba dva body „spojenia“ medzi kusmi. Najprv nakreslíme návrh na návrh, v prvej časti článku som sa dostatočne podrobne vyjadril k stavebnej technike. Jediné, čo musíte starostlivo sledovať naše špeciálne body: kvôli nerovnosti zmysel patrí k priamemu (zelená bodka) a kvôli nerovnosti zmysel patrí do paraboly (červená bodka):

V zásade je všetko jasné =) Zostáva len vypracovať riešenie. Pre každý z dvoch „zadných“ bodov pravidelne kontrolujeme 3 podmienky kontinuity:



I) Skúmame kontinuitu tohto bodu

1) - funkcia je definovaná v danom bode.

2) Nájdite jednostranné limity:


Jednostranné limity sú obmedzené a rôzne, čo znamená, že funkcia trpí zlomom prvého druhu so skokom v bode ,

Skok medzery vypočítame ako rozdiel medzi pravou a ľavou hranicou:
, to znamená, že graf vytiahol jednu jednotku nahor.

II) Skúmame kontinuitu tohto bodu

1) - funkcia je definovaná v danom bode.

2) Nájdite jednostranné limity:

- jednostranné limity sú konečné a rovnaké, čo znamená, že existuje spoločný limit.

3) - hranica funkcie v bode sa rovná hodnote tejto funkcie v danom bode.

Takže funkcia nepretržité v bode definíciou kontinuity funkcie v určitom okamihu.

V záverečnej fáze preneste kresbu do vysávača, potom dáme posledný akord:

Odpoveď : funkcia je súvislá na celom riadku s výnimkou bodu v ktorej trpí prestávkou prvého druhu so skokom.

Hotovo.

Príklad 5

Preskúmajte funkciu spojitosti a vykreslite ju ,

Toto je príklad pre nezávislé riešenie, krátke riešenie a približný príklad návrhu úlohy na konci hodiny.

Môže sa zdať, že na jednom mieste musí byť funkcia nepretržitá a na druhej strane musí byť medzera. V praxi to zďaleka nie je pravda. Pokúste sa nezabudnúť na zvyšné príklady - budú tu niektoré zaujímavé a dôležité čipy:

Príklad 6

Daná funkcia , Preskúmajte funkciu kontinuity v bodoch , Zostavte graf.

Riešenie : a opäť okamžite vykonajte návrh výkresu:

Zvláštnosťou tohto grafu je, že keď kusová funkcia je daná rovnicou osi x , Tu je táto časť nakreslená zelenou farbou a v zápisníku je obyčajne zvýraznená jednoduchou ceruzkou. A samozrejme nezabudnite na naše ovce: význam sa vzťahuje na dotykovú vetvu (červená bodka) a hodnotu patrí k priamemu ,

Z výkresu je všetko jasné - funkcia je nepretržitá na celej číselnej čiare, zostáva až do vypracovania riešenia, ktoré sa naplno automatizuje doslova po 3 až 4 takýchto príkladoch:

I) Skúmame kontinuitu tohto bodu

1) - funkcia je definovaná v danom bode.

2) Vypočítame jednostranné limity:

, potom existuje spoločný limit.

Stala sa tu malá zvláštnosť. Faktom je, že som vytvoril veľa materiálov o limitoch funkcie a niekoľkokrát som chcel, ale niekoľkokrát som zabudol na jednu jednoduchú otázku. A tak sa s neuveriteľným úsilím prinútil, aby nestratil svoju myšlienku =) S najväčšou pravdepodobnosťou niektorí čitatelia „figuríny“ pochybujú: aký je limit konštanty? Hranica konštanty sa rovná samotnej konštante. V tomto prípade sa nulová hranica rovná samotnej nule (ľavá hranica).

Ideme ďalej:

3) - hranica funkcie v bode sa rovná hodnote tejto funkcie v danom bode.

Takže funkcia nepretržité v bode definíciou kontinuity funkcie v určitom okamihu.

II) Skúmame kontinuitu tohto bodu

1) - funkcia je definovaná v danom bode.

2) Nájdite jednostranné limity:

A tu, v pravom limite - limit jednotky sa rovná jednotke samotnej.

- existuje spoločný limit.

3) - hranica funkcie v bode sa rovná hodnote tejto funkcie v danom bode.

Takže funkcia nepretržité v bode definíciou kontinuity funkcie v určitom okamihu.

Ako zvyčajne, po výskume prevedieme našu kresbu do čistej kópie.

Odpoveď : funkcia je v bodoch nepretržitá ,

Vezmite prosím na vedomie, že v situácii, keď sme sa na nič nepýtali na štúdium celej funkcie kvôli kontinuite, sa považuje za dobrý matematický tón formulovať presnú a jasnú odpoveď na položenú otázku. Mimochodom, ak podmienka nevyžaduje zostavenie rozvrhu, potom máte každé právo ho nestavať (avšak učiteľ to môže dosiahnuť).

Malý matematický „jazykový twister“ pre nezávislé riešenie:

Príklad 7

Daná funkcia ,

Preskúmajte funkciu kontinuity v bodoch , Klasifikujte body prerušenia, ak existujú. Vytvorte kresbu.

Pokúste sa správne „vysloviť“ všetky „slová“ =) A nakreslite presnejší rozvrh, presnosť, nebude to všade zbytočné ;-)

Ako si pamätáte, odporúčam vám, aby ste si koncept okamžite nakreslili, ale občas sa stretnete s príkladmi, kde nemôžete okamžite zistiť, ako graf vyzerá. Preto je v niektorých prípadoch výhodné najskôr nájsť jednostranné limity a až potom na základe výskumu znázorniť odvetvia. V dvoch záverečných príkladoch navyše zvládneme techniku ​​výpočtu niektorých jednostranných limitov:

Príklad 8

Preskúmajte funkciu kontinuity a zostaviť jej schematický diagram.

Riešenie : Zlé body sú zrejmé: (nastaví menovateľ ukazovateľa na nulu) a (ruší menovateľ celej frakcie). Nie je jasné, ako vyzerá graf tejto funkcie, čo znamená, že je lepšie najprv vykonať štúdiu:

I) Skúmame kontinuitu tohto bodu

1) Funkcia nie je v tomto bode definovaná.

2) Nájdite jednostranné limity:

Venujte pozornosť typickej metóde výpočtu jednosmerného limitu : vo funkcii nahradíme funkciu „x“ , V menovateli nie je zločin: „sčítanie“ „mínus nula“ nehrá žiadnu rolu a ukázalo sa, že „štyri“. Ale v čitateli je malý thriller: prvý v menovateli ukazovateľa kill –1 a 1, čo vedie k , Jednotka delená nekonečným záporným číslom sa rovná „mínus nekonečno“, preto: , A nakoniec, „deuce“ v nekonečne veľkom negatívnom stupni sa rovná nule: , Alebo podrobnejšie: ,

Vypočítame pravý limit:

A tu - namiesto „X“ nahrádzame , V menovateli je „aditívum“ opäť nezáleží: , V čitateli sa vykonávajú akcie podobné predchádzajúcemu limitu: zničíme opačné čísla a jednotku rozdelíme nekonečne malým kladným číslom :

Pravá hranica je nekonečná, čo znamená, že funkcia má v tomto bode medzeru druhého druhu ,

II) Skúmame kontinuitu tohto bodu

1) Funkcia nie je v tomto bode definovaná.

2) Vypočítame ľavý limit:

Metóda je rovnaká: do funkcie nahradíme „x“ , V čitateli nie je nič zaujímavé - dostaneme konečné kladné číslo , A v menovateli otvárame zátvorky, odstraňujeme „trojčatá“ a „doplnková látka“ hrá rozhodujúcu úlohu ,

Výsledkom je, že konečné kladné číslo delené nekonečným kladným číslom dáva „plus nekonečno“: ,

Pravý limit, ako dvojča, s jedinou výnimkou, že v menovateli sa objaví nekonečné desatinné číslo :

Jednostranné limity sú nekonečné, čo znamená, že funkcia v tomto bode trpí diskontinuitou druhého druhu ,

Máme teda dva body zlomu a, samozrejme, tri vetvy grafu. Pre každú vetvu je vhodné vykonať bodovú konštrukciu, t.j. zoberte niekoľko hodnôt X a nahraďte ich , чертежа, и такое послабление естественно для ручной работы. Všimnite si, že podľa stavu je povolený schematický nákres a takáto relaxácia je pri manuálnej práci prirodzená. Tvorím grafy pomocou programu, takže nemám také problémy, tu je pomerne presný obrázok:

priamy vertikálne asymptoty pre graf tejto funkcie.

Odpoveď : funkcia je nepretržitá na celom číselnom riadku okrem bodov v ktorej trpí prestávky druhého druhu.

Jednoduchšia funkcia pre nezávislé riešenie:

Príklad 9

Preskúmajte funkciu kontinuity a vykonať schematický nákres.

Približná vzorka roztoku na konci, ktorá sa plazí bez povšimnutia.

Uvidíme sa skoro!

Rozhodnutia a odpovede:

Príklad 3: Riešenie : transformujte funkciu: , Vzhľadom na pravidlo zverejnenia modulu a skutočnosť, že , prepíšeme funkciu v kusovej podobe:

Študujeme funkciu kontinuity.

1) Funkcia nie je v tomto bode definovaná ,

2) Vypočítame jednostranné limity:


Jednostranné limity sú konečné a rôzne, čo znamená, že funkcia je prerušovaná prvého druhu so skokom v bode , Poďme vykonať výkres:

Odpoveď : funkcia je súvislá na celom riadku s výnimkou bodu v ktorej trpí prestávkou prvého druhu so skokom. Gap jump: (dve jednotky hore).

Príklad 5: Riešenie : každá z troch častí funkcie je nepretržitá vo svojom intervale.
I) Skúmame kontinuitu tohto bodu
1) - funkcia je definovaná v danom bode.

2) Vypočítame jednostranné limity:


, potom existuje spoločný limit.
3) - hranica funkcie v bode sa rovná hodnote tejto funkcie v danom bode.
Takže funkcia nepretržité v bode definíciou kontinuity funkcie v určitom okamihu.
II) Skúmame kontinuitu tohto bodu

1) - funkcia je definovaná v danom bode.

2) Nájdite jednostranné limity:


Jednostranné limity sú obmedzené a rôzne, čo znamená, že funkcia trpí zlomom prvého druhu so skokom v bode ,
Gap jump: (o päť jednotiek nižšie).
Výkres sa nachádza v prvej časti článku.
Odpoveď : funkcia je súvislá na celom riadku s výnimkou bodu v ktorej trpí prestávkou prvého druhu so skokom.

Príklad 7: Riešenie :

I) Skúmame kontinuitu tohto bodu

1) - funkcia je definovaná v danom bode.

2) Nájdite jednostranné limity:


Ľavá hranica je nekonečná, čo znamená, že táto funkcia má v bode diskontinuitu druhého druhu. ,
II) Skúmame kontinuitu tohto bodu

1) - funkcia je definovaná v danom bode.

2) Nájdite jednostranné limity:


Jednostranné limity sú obmedzené a rôzne, čo znamená, že funkcia trpí zlomom prvého druhu so skokom v bode ,
Poďme vykonať výkres:

Odpoveď : Na chvíľu funkcia v tomto okamihu trpí medzerou druhého druhu funkcia preruší prvý druh skokom.

Príklad 9: Riešenie : preverte bod kontinuity :

1) Funkcia nie je v tomto bode definovaná.

2) Vypočítame jednostranné limity:


Ľavá hranica je nekonečná, čo znamená, že táto funkcia má v bode diskontinuitu druhého druhu. ,
Poďme vykonať výkres:

Odpoveď : funkcia je súvislá na celom riadku s výnimkou bodu v ktorej trpí medzerou druhého druhu.

Autor: Emelin Alexander

Vyššia matematika pre externých študentov, nielen >>>

(Prejdite na hlavnú stránku)

Ako môžem poďakovať autorovi?

Ako nájsť rozsah funkcie?

Príklady riešenia

Ak niekde nie je niečo, potom niekde niečo je

Pokračujeme v štúdiu sekcie „Funkcie a grafika“ a ďalšou stanicou našej cesty je oblasť definovania funkcií . Aktívna diskusia o tomto koncepte sa začala už v prvej lekcii funkčných grafov , kde som skúmal základné funkcie, a najmä ich definičnú oblasť. Preto odporúčam čajník začať so základnými témami tejto témy, pretože sa už nebudem zaoberať niektorými základnými bodmi.

Predpokladá sa, že čitateľ pozná oblasť definovania hlavných funkcií: lineárna, kvadratická, kubická, polynómia, exponent, logaritmus, sínus, kosínus. Sú definované na , Za tangenty, arcsíny, tak nech to je odpustené =) Vzácnejšia grafika sa pamätá zďaleka okamžite.

Rozsah pôsobnosti je zdanlivo jednoduchá vec a vzniká legitímna otázka, o čom bude tento článok? V tejto lekcii sa budem venovať spoločným úlohám pri hľadaní oblasti definície funkcie. Ďalej budeme opakovať nerovnosti s jednou premennou , zručnosti riešenia, ktoré sa budú vyžadovať pri iných problémoch vyššej matematiky. Materiál, mimochodom, je celá škola, takže bude užitočný nielen pre študentov, ale aj pre študentov. Informácie samozrejme nepredstierajú, že sú encyklopedické, ale tu nejde o priveľmi „mŕtve“ príklady, ale o pražené gaštany, ktoré sú prevzaté zo skutočných praktických prác.

Začnime expresným výrezom v téme. Stručne o hlavnej veci: hovoríme o funkcii jednej premennej , Jeho definičnou oblasťou je skupina významov „X“, pre ktoré existujú významy „hráčov“. Uvažujme o podmienenom príklade:

Rozsah tejto funkcie je spojenie medzier:
(pre tých, ktorí zabudli: - ikona priradenia). Inými slovami, ak z intervalu vyberiete akúkoľvek hodnotu „X“ alebo z alebo z , potom pre každé takéto „X“ bude mať význam „hra“.

Zhruba povedané, kde je doména definície - existuje graf funkcie. A tu je polovičný interval a bod „ce“ nie je zahrnutý v definičnej oblasti, takže tu nie je graf.

Áno, mimochodom, ak nie je z terminológie a / alebo obsahu prvých odsekov zrejmé, je lepšie sa vrátiť k článku Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií .

Ako nájsť rozsah funkcie? Mnoho ľudí si pamätá detskú izbu: „kameň, nožnice, papier“, a v tomto prípade ju možno bezpečne preformulovať: „koreň, zlomok a logaritmus“. Ak teda na svojej životnej ceste narazíte na zlomok, koreň alebo logaritmus, mali by ste byť veľmi, veľmi pohotoví naraz! Tangens, cotangent, arcsine, arccosine sú oveľa menej bežné, a budeme hovoriť aj o nich. Najprv však náčrtky zo života mravcov:





; Dátum pridania: 2015-07-21 ; ; počet zobrazení: 51437 ; Porušuje publikovaný materiál autorské práva? | | Ochrana osobných údajov OBJEDNÁVKA PRÁCE


Nenašli ste, čo ste hľadali? Použite vyhľadávanie:

Najlepšie príslovie: Naučte sa študovať, nie sa učiť! 10087 - | 7752 - alebo prečítať všetko ...

Prečítajte si tiež:

border=0
2019 @ edudocs.pro

Генерация страницы за: 0.02 сек.