border=0


border=0

Weil Algebra

zvážiť a zvážiť prevádzkovateľov a ,

Ponuka. , , ,
Dôkaz.
                Prvé dva vzťahy sú zrejmé, dokážeme tretí:
,

Definícia. Weil Algebra nazýva subalgebra s jednotou v algebre všetkých lineárnych operátorov generované operátormi ,

Každá položka z viete si predstaviť, ako alebo ako ,

Ponuka. nechať prezentované ako potom
1)
2)
Dôkaz.
                V akejkoľvek algebre dať potom , t.j. táto operácia má rovnaké vlastnosti ako diferenciácia, použijeme ju. počítať - diferenciácia polynómu podľa premennej :

,
Druhý bod sa ukáže podobne.
Prednáška 13 (26. novembra 2001)

Vraciame sa k úvahe o Weylovej algebre. Pripomeňme, že sme uvažovali o vesmíre a lineárne operátory , ktoré vlastnili majetok a kde , Weil Algebra je ak potom potom a ,

Veta. je jednoduché.
Dôkaz.
nechať , , nechať , potom ,
ak potom , t.j. stupeň znížil. Pokračovaním v tejto operácii sa všeobecne zbavíme , Ďalej sa rovnakým spôsobom môžeme zbaviť všetkých , a vzhľadom na to môžeme sa zbaviť všetkých , Výsledkom je, že určitá konštanta (nie nula) patrí k nášmu ideálu. Od tej doby konštanta je reverzibilná, náš ideál sa zhoduje s celou algebrou. tj algebra je jednoduchá.

Ponuka. polynómy lineárne nezávislý v v inom ,
Dôkaz.
                Naozaj, ak , potom budeme konať podobne ako dôkaz predchádzajúcej vety, t. atď. Výsledkom je, že nenulová konštanta by mala byť nula, čo je nemožné.

Dôsledok. Weilova algebra je nekonečná.

Zvážte pole , cez poznáme nasledujúce telá:
1) cez ;
2) cez ;
3) cez - pole štvorkoliek.
Teraz dokazujeme, že neexistujú žiadne iné telá (t. J. Všetky telá sú izomorfné s jedným z nich).

Lemma. centrum sa rovná , t.j. všetky matice s rovnakými reálnymi číslami na diagonále.
Dôkaz.
                nechať - prvok stredu. potom pre všetkých a , tj dostaneme systém o prvkoch , Jeho vyriešením získame tvrdenie lemmy.

Definícia. nechať - asociatívna algebra s jednotkou nad poľom , element nazýva algebraické, ak existuje polynóm taký , Minimálny polynóm algebraického prvku nazval najmenší polynóm s najhorším koeficientom taký ,

Cvičenie. nechať je algebraický prvok z a - všetky také že , Dokážte to a kde - minimálny polynóm prvku ,

Veta. nechať potom ,
Dôkaz.
                trvať , kde z toho dôvodu , preto, kde , ak potom , preto, , t.j. , ak potom to je nemožné. teda preto všetky a prvky sú nezávislé.

Veta. je pole iba vtedy, ak je polynóm nesnížitelný.
Dôkaz.
, nechať dáme, t. kde , potom a , t.j. sú nulové deliče. teda nie pole.
                , nechať nezmeniteľné a je nenulový prvok. potom nezdieľa , t.j. , teda , potom , t.j. každý nenulový prvok je reverzibilný. teda pole.

Definícia. nechať - algebra a , veľa nazývaná subalgebra generovaná daným prvkom ,

Ponuka. nechať - región (asociatívna algebra s jednotou a bez deliteľov) a , Potom minimálny polynóm pre nezmeniteľné a , Najmä je pole.
Dôkaz.
                nechať kde , potom na ale v žiadne nulové deliče. Získali sme preto protirečenie nesnížitelný.
zvážiť taký , potom a , Veta o homomorfizme získame - pole.

Ponuka. nechať - konečne nadrozmerné telo a , potom ,
Dôkaz.
                nechať je minimálny polynóm pre , ak , potom teda , rozpor. teda - nezmeniteľné , potom , (nech - komplexný koreň Potom sme vyrazili vRÁTANE a použiť ten na homomorfizmus).

Veta. nechať je pole, ktoré je konečnou dimenziou algebry , potom alebo ,
Dôkaz.
                nechať , potom (podľa predchádzajúcej vety) , nechať a je minimálny polynóm pre cez potom nesnížitelný. teda kde a , t.j. , teda ,

Veta (Frobenius). nechať - konečný nekomutatívny orgán potom ,
Dôkaz.
                pretože potom bezvýhradne , nechať , potom teda , je ľavý vektorový priestor nad , Zvážte operátora , je to lineárny operátor, pretože a , tj dostávame komplexný pohľad na skupinu , , Zvážte sady:
potom ,
ak potom , t.j. pretože v potom žiadne nulové deliče , t.j. , podobne , teda ,

Lemma 1. ,
Dôkaz.
               nechať potom teda , ale - subalgebra je to konečné rozšírenie , A to už vieme v tomto prípade ,

Lemma 2. Let , kde , potom ,
Dôkaz.
,

Lemma 3. Let potom a ,
Dôkaz.
Podľa predchádzajúcej lemmy , teda , Ale na druhej strane (od roku 2006) žiadne nulové deliče). Preto sa všetky tieto nerovnosti menia na rovnoprávnosť a , Podobne to dokazujeme ,

Podľa Lemmy 1 máme a , trvať potom , Minimálny polynóm pre cez má stupeň 2. Preto kde , Okrem toho: (Vzhľadom k tomu, ) a (Vzhľadom k tomu, ). preto, , tj dostaneme to a ,
ak potom , t.j. to je nemožné.
preto, kde , teda , nechať potom a , nechať potom , a ,
Nakoniec sme to dostali , tj dostali sme skupinu štvoríc (pravidlá množenia sú rovnaké).
Prednáška 14 (3. decembra 2001)

Definícia. nechať - plocha nad poľom a , element sa nazýva algebraický, ak taký , polynóm najmenej s úvodným koeficientom 1 tak, že sa nazýva minimálny ničiaci polynóm pre ,

ak je minimálny polynóm pre potom ,

Ponuka. ak nenulový koniec potom - pole. element je koreň v teréne ,
Dôkaz.
nechať , , potom
,

Dôsledok. nechať - svojvoľné. Potom je tu pole v ktorom je polynóm máme koreň.
tu nazýva sa rozšírenie poľa je napísaný ako ,

Definícia. nechať a , Pole nazýva pole rozkladu pre ak:
1) viac polynóm rozkladá sa na lineárne faktory;
2) žiadne stredné pole ( ) nevlastní tento majetok.

Veta. nechať a , potom:
1) pole rozkladu tam;
2) ak a - pole rozkladu pre potom a izomorfný ako algebra.
Dôkaz.

                1) Existencia (dôkaz indukciou).
ak potom ,
Teraz a pre všetky menšie stupne už bola dokázaná existencia rozkladného poľa. rozširujeme na neredukovateľné polynómy , - nezmeniteľné. pole znova a polynóm v ňom má root , Potom v tomto poli kde , a , Hypotézou indukcie existuje - pole rozkladu pre , teda bude pole rozkladu pre ,
2) Jedinečnosť (aj indukciou).
ak , potom je pole rozkladu jedinečné a rovnaké ,
ak , nechať , nechať a - korene v poliach a resp. potom , Bez straty všeobecnosti to môžeme predpokladať a , potom a - polia rozkladu polynómu cez , Predpokladom indukcie poľa a zápas.

Od prvého semestra si spomeňte, že ak - potom pole buď 0 alebo prvočíslo. Ak je charakteristika nula, potom pole obsahuje pole racionálnych čísel. Ak je charakteristika rovná , potom pole obsahuje pole zvyškov modulo ,

Veta. nechať - hotové pole a potom ,
Dôkaz.
pretože potom je vektorový priestor nad rozmerom , nechať - základňa v cez , preto, kde , teda ,

Ponuka. nechať - charakteristické pole , potom , ,
Dôkaz.
Dokážeme to ako prvý , Podľa Newtonovho binomického filmu
,
Binomický koeficient sa rovná , a a z toho dôvodu , tj v teréne tento koeficient je nula. teda ,
Vo všeobecnom prípade ( ) máme:
,

Veta. ak - pole z prvky a potom ,
Dôkaz.
                nechať , potom , ale - skupina násobenia objednávok z toho dôvodu z toho dôvodu ,
ak , potom je vyhlásenie zrejmé.

Veta. nechať kde - jednoducho, potom je tu (a je to jedinečné) pole a prvky.
Dôkaz.
                Zvážte pole a polynóm , nechať - pole rozkladu pre , nechať a - korene potom , t.j. - tiež root , Podľa vyššie uvedeného tvrdenia , t.j. - tiež root , Podobne to overujeme a budú tiež zakorenené ,
ak potom preto a , Všetky korene tvoria podpole. teda sa zhoduje so súborom všetkých koreňov polynómu , V polynómu žiadne viacnásobné korene, ako a - vzájomné. teda , Jedinečnosť poľa vyplýva z jedinečnosti poľa rozkladu pre polynóm. ,

Veta. nechať - pole a je konečná podskupina , potom - cyklický.
Dôkaz.
kde - silovskaya - podskupina. Stačí nám to dokázať cyklická. kde je prvočíslo. Nechajte prvok má maximálnu objednávku ( ). potom alebo , Zvážte polynóm , Akákoľvek položka má poriadok kde , preto, a , tj všetky prvky sú korene polynómu , Ale všetko z toho dôvodu a poradie prvkov sa zhoduje s poradím celej skupiny. Preto skupina cyklický generovaný prvkom , Preto celá skupina cyklická.

Dôsledok. - cyklická skupina.

Dôsledok. nechať - pole a , Potom je tu polynóm stupňov taký ,
Dôkaz.
kde - minimálny ničiaci polynóm.

Veta. Skupina automorfizmu kde je cyklická skupina poriadku ,
Dôkaz.
nechať - automorfizmus potom , , , t.j. ak , potom kde - minimálny ničiaci polynóm pre , , nechať potom , pre už viac nie je hodnôt. Preto už viac neexistuje automorphisms ,
Označujeme automorfizmus poriadku , potom a , potom , t.j. je automorfizmus identity. Na objednávku sa rovná potom a potom na poli bude celkom prvky. Preto si objednajte sa rovná a ,





Prečítajte si tiež:

Ľavá susedná trieda Pravá susedná trieda

Definícia cyklickej podskupiny

Skupina G

Skupina G a jej normálne podskupiny

Algebra s násobením sa nazýva Lieova algebra

Späť na obsah: Algebra

2019 @ edudocs.pro