Ako skúmať funkciu pre kontinuitu?




Štúdium funkcie na kontinuitu v bode sa uskutočňuje podľa už zavetej rutinnej schémy, ktorá spočíva v testovaní troch podmienok kontinuity:

Príklad 1

Preskúmajte funkciu o kontinuite. Určite povahu zlomov funkcií, ak existujú. Vykonajte výkres.

Riešenie :

1) Jediný bod zasiahne pohľad. v ktorom funkcia nie je definovaná.

2) Vypočítajte jednostranné limity:

Jednostranné limity sú konečné a rovnaké.

Takže v bode Funkcia toleruje odstrániteľnú medzeru.

Ako vyzerá graf tejto funkcie?

Chcem to zjednodušiť , a zdá sa, že je to bežná parabola. Ale zdrojová funkcia nie je definovaná na Preto je povinná nasledovná výhrada:

Dokončíme výkres:

Odpoveď : funkcia je spojitá na celej číselnej linke okrem bodu. v ktorom toleruje odstrániteľnú medzeru.

Funkcia môže byť definovaná dobrou alebo nie veľmi dobrou cestou, ale podmienkou nie je potrebná.

Hovoríte, príklad je vytvorený? Vôbec nie. V praxi sa niekoľko desaťkrát stretlo. Takmer všetky úlohy stránky pochádzajú zo skutočných nezávislých a kontrolných prác.

Zdieľanie so svojimi obľúbenými modulmi:

Príklad 2

Preskúmajte funkciu o kontinuite. Určite povahu zlomov funkcií, ak existujú. Vykonajte výkres.

Riešenie : z nejakého dôvodu sa študenti bojí a nemajú rád funkcie s modulom, aj keď v nich nie je nič ťažké. Už sme sa o takýchto veciach trochu zaoberali v lekcii Geometrické transformácie grafov . Keďže modul nie je negatívny, je zverejnený nasledovne: kde alfa je výraz. V tomto prípade , a naša funkcia by mala podpísať po častiach:

Ale zlomky oboch kusov sa znížia , Zníženie, ako v predchádzajúcom príklade, nebude fungovať bez následkov. Zdrojová funkcia nie je definovaná v bode pretože menovateľ ide na nulu. Preto by mal systém dodatočne špecifikovať stav a prvá nerovnosť urobte prísne:

Teraz o veľmi VHODNÉ riešenie : pred dokončením úlohy na koncept je výhodné vytvoriť kresbu (bez ohľadu na to, či je podmienka podmienená alebo nie). Pomôže to v prvom rade okamžite vidieť body kontinuity a body prerušenia a na druhej strane vám 100% ušetrí chyby pri hľadaní jednostranných limitov.

Robte výkres. Podľa našich výpočtov, vľavo od bodu je potrebné nakresliť fragment paraboly (modrá farba) a vpravo - kus paraboly (červená farba), funkcia nie je definovaná v samotnom bode :

Ak máte pochybnosti, vezmite niekoľko hodnôt X a nahraďte ich funkciou (nezabudnite, že modul zničí možný znak mínus) a skontrolujte rozvrh.


border=0


Funkciu analyzujeme na základe kontinuity:

1) Funkcia nie je definovaná v bode preto môžeme okamžite povedať, že to nie je kontinuálne.

2) Nastavte charakter medzery, na základe čoho vypočítame jednostranné limity:

Jednostranné limity sú konečné a odlišné, čo znamená, že funkcia trpí diskontinuitou prvého druhu so skokom v bode , Všimnite si, že nezáleží na tom, či je funkcia definovaná v bode zlomu alebo nie.

Teraz zostáva previesť návrh z konceptu (bol vykonaný tak, ako keby bol použitý výskum ;-)) a dokončenie úlohy:

Odpoveď : funkcia je spojitá na celej číselnej linke okrem bodu. v ktorom trpí prelomom prvého druhu so skokom.

Niekedy sa vyžaduje dodatočné označenie prerušenia nespojitosti. Vypočíta sa elementárne - ľavý limit sa musí odpočítať od pravej hranice: , teda v bode prerušenia, naša funkcia vyskočila o 2 jednotky nadol (čo nám hovorí mínus).

Príklad 3

Preskúmajte funkciu o kontinuite. Určite povahu zlomov funkcií, ak existujú. Vytvorte výkres.

Toto je príklad nezávislého rozhodnutia, vzorového riešenia na konci lekcie.

Obráťme sa na najobľúbenejšiu a najbežnejšiu verziu úlohy, keď sa táto funkcia skladá z troch častí:

Príklad 4

Preskúmajte funkciu kontinuity a vykreslenie funkcie

,

Riešenie : je zrejmé, že všetky tri časti funkcie sú kontinuálne v zodpovedajúcich intervaloch, takže zostáva kontrola iba dvoch bodov "spoja" medzi jednotlivými kusmi. Po prvé, vypracujeme návrh na návrh, podrobne som komentoval stavebnú techniku ​​v prvej časti článku. Jediná vec, ktorú musíte starostlivo sledovať naše konkrétne body: kvôli nerovnosti zmysel vlastné rovno (zelená bodka) a na základe nerovnosti zmysel patrí k parabole (červená bodka):

No, v zásade je všetko jasné =) Zostáva vydať rozhodnutie. Pre každý z dvoch "zadných" bodov rutinne kontrolujeme 3 podmienky kontinuity:



I) Vyšetrujeme bod pre kontinuitu.

1) - funkcia je definovaná v tomto bode.

2) Nájdite jednostranné obmedzenia:


Jednostranné limity sú konečné a odlišné, takže funkcia trpí medzerou prvého druhu so skokom v bode ,

Vypočítame prechod nespojitosti ako rozdiel medzi pravou a ľavou hranicou:
, to znamená, že plán spadol na jednu jednotku.

II) Vyšetrujeme bod kontinuity.

1) - funkcia je definovaná v tomto bode.

2) Nájdite jednostranné obmedzenia:

- jednostranné limity sú konečné a rovnaké, čo znamená, že existuje spoločná hranica.

3) - limit funkcie v bode sa rovná hodnote danej funkcie v danom bode.

Takže funkcia kontinuálne v bode z definície kontinuita funkcie v bode.

V záverečnej fáze prenesieme kresbu na čistú kópiu, po ktorej sme umiestnili poslednú akord:

Odpoveď : funkcia je spojitá na celej číselnej línii okrem bodu. v ktorom trpí prelomom prvého druhu so skokom.

Je hotovo.

Príklad 5

Preskúmajte funkciu kontinuity a vykreslite ju ,

Toto je príklad nezávislého riešenia, krátkeho riešenia a vzorovej vzorky úlohy na konci lekcie.

Môžeme mať dojem, že v jednom bode musí byť funkcia nevyhnutne spojitá a na inom mieste musí existovať medzera. V praxi to nie je vždy prípad. Snažte sa nezanedbávať zostávajúce príklady - tam budú niektoré zaujímavé a dôležité kusy:

Príklad 6

Funkcia Dana , Preskúmajte funkciu na kontinuite v bodoch , Vytvorte graf.

Riešenie : a opäť ihneď spustite koncept draft:

Zvláštnosťou tohto grafu je to, že čiastočná funkcia je daná rovnicou osi osi osi , Tu je táto časť označená zelenou farbou av poznámke je zvyčajne odvážne izolovaná jednoduchou ceruzkou. A samozrejme nezabudnite na naše ovce: hodnotu označuje dotyčnicu (červenú bodku) a hodnotu vlastné rovno ,

Z výkresu je všetko jasné - funkcia je spojitá na celej číselnej línii, ale zostáva formovať riešenie, ktoré sa prináša do úplného automatizmu doslova po 3-4 podobných príkladoch:

I) Vyšetrujeme bod pre kontinuitu.

1) - funkcia je definovaná v tomto bode.

2) Vypočítajte jednostranné limity:

znamená to, že existuje všeobecná hranica.

Tam bolo trochu smiešne. Faktom je, že som vytvoril množstvo materiálov o limitoch funkcie a niekoľkokrát som to chcel, ale niekoľkokrát som zabudol na jednu jednoduchú otázku. A tak, neuveriteľnou snahou vôle sa stále nútil, aby nestratil myšlienku =) S najväčšou pravdepodobnosťou niektorí čitatelia "čajovníkov" pochybujú: aký je limit konštanty rovnajúcej sa? Limit konštanty sa rovná samotnej konštante. V tomto prípade je nulový limit samotný nula (ľavostranná hranica).

Ďalej:

3) - limit funkcie v bode sa rovná hodnote danej funkcie v danom bode.

Takže funkcia kontinuálne v bode z definície kontinuita funkcie v bode.

II) Vyšetrujeme bod kontinuity.

1) - funkcia je definovaná v tomto bode.

2) Nájdite jednostranné obmedzenia:

A tu v pravom limite - limit jednotky je rovnaký ako jednotka samotná.

- existuje všeobecná hranica.

3) - limit funkcie v bode sa rovná hodnote danej funkcie v danom bode.

Takže funkcia kontinuálne v bode z definície kontinuita funkcie v bode.

Ako zvyčajne, po výskume prenášame našu kresbu na čistú kópiu.

Odpoveď : funkcia je kontinuálna v bodoch. ,

Vezmite prosím na vedomie, že v podmienkach sme sa nepýtali nič o štúdiu celej funkcie pre kontinuitu a považujeme za dobrý matematický tón na formulovanie presnej a jasnej odpovede na položenú otázku. Mimochodom, ak podmienkou nepotrebujete zostaviť rozvrh, potom máte všetko právo, aby ste ho nevytvorili (hoci učiteľ ho môže vynútiť).

Malý matematický "vzor" pre nezávislé riešenie:

Príklad 7

Funkcia Dana ,

Preskúmajte funkciu na kontinuite v bodoch , Rozdeľte body zlomu, ak nejaké existujú. Vykonajte výkres.

Pokúste sa správne "vysloviť" všetky "slová" =) A nakresliť graf presnejšie, presnosť, nebude to všade nadbytočné ;-)

Ako si pamätáte, odporučila som okamžite vykonať kresbu na tahu, ale z času na čas existujú také príklady, keď si okamžite neuvedomíte, ako to vyzerá. Preto je v niektorých prípadoch výhodné najprv nájsť jednostranné limity a až potom na základe štúdie na zobrazenie pobočiek. V dvoch posledných príkladoch budeme ovládať aj metódu výpočtu niektorých jednostranných limitov:

Príklad 8

Preskúmajte funkciu kontinuity a vytvoriť jeho schematický diagram.

Riešenie : zlé body sú zrejmé: (mení na nulu menovateľ ukazovateľa) a (premenuje na nulu menovateľ celej frakcie). Je ťažké pochopiť, ako graf tejto funkcie vyzerá, čo znamená, že je lepšie vykonať štúdiu ako prvú:

I) Vyšetrujeme bod pre kontinuitu.

1) Funkcia nie je definovaná v tomto bode.

2) Nájdite jednostranné obmedzenia:

Venujte pozornosť typickému spôsobu výpočtu jednostrannej hranice : vo funkcii namiesto "X" nahradíme , V menovateli akéhokoľvek trestného činu: "doplnková látka", "mínus nula" nezáleží, a ukáže sa to "štyri". Ale v čitateľovi je malý thriller: najprv v menovateli indikátora zabiť -1 a 1, čo má za následok , Jednotka delené nekonečne malým záporným číslom je "mínus nekonečno", preto: , A konečne, "dva" v nekonečne veľkom negatívnom stupni sú nula: , Alebo ak máte ďalšie podrobnosti: ,

Vypočítajte prahovú hranicu:

A tu - namiesto "X" náhradníka , V menovateli "doplnková látka" znova nezáleží: , V čitateľovi sa vykonávajú akcie podobné predchádzajúcemu limitu: zničíme opačné čísla a rozdelíme jednotku na nekonečne malé kladné číslo :

Pravý limit je nekonečný, takže funkcia trpí diskontinuitou druhého druhu na mieste ,

II) Vyšetrujeme bod kontinuity.

1) Funkcia nie je definovaná v tomto bode.

2) Vypočítajte ľavostranný limit:

Metóda je rovnaká: nahradiť funkciu namiesto "X" , V čitateli nie je nič zaujímavé - získa sa konečné kladné číslo , A v menovateli otvoríme zátvorky, odstránime "trojku" a "prísada" hrá dôležitú úlohu. ,

Ako výsledok, konečné kladné číslo delené nekonečne malým kladným číslom dáva "plus nekonečno": ,

Pravá hranica je ako dvojča, s jedinou výnimkou, že v menovateli pláva nekonečne malý počet :

Jednostranné limity sú nekonečné, takže funkcia trpí diskontinuitou druhého druhu na mieste ,

Máme teda dva body zlomu a samozrejme tri grafy grafu. Pre každú vetvu sa odporúča vykonať bodovú konštrukciu, t.j. zoberte niekoľko hodnôt X a nahraďte ich , чертежа, и такое послабление естественно для ручной работы. Všimnite si, že stav umožňuje vytvorenie schematického výkresu a takéto uvoľnenie je prirodzené pre manuálnu prácu. Stavím grafiku s programom, takže nemám takéto ťažkosti, tu je pomerne presný obraz:

Rovné čiary vertikálne asymptoty pre graf tejto funkcie.

Odpoveď : funkcia je spojitá na celej číselnej čiare s výnimkou bodov. v ktorej toleruje diskontinuity druhého druhu.

Jednoduchšia funkcia pre nezávislé rozhodnutie:

Príklad 9

Preskúmajte funkciu kontinuity a vykonajte schému.

Približné riešenie vzorky na konci, ktoré neprekvapujú.

Uvidíme sa čoskoro!

Riešenia a odpovede:

Príklad 3: Riešenie : premeniť funkciu: , Vzhľadom na pravidlo modulu zverejnenia a skutočnosť, že , funkciu prepíšeme v čiastkových formách:

Vyšetrujeme funkciu kontinuity.

1) Funkcia nie je definovaná v bode ,

2) Vypočítajte jednostranné limity:


Jednostranné limity sú konečné a odlišné, čo znamená, že funkcia trpí diskontinuitou prvého druhu so skokom v bode , Dokončíme výkres:

Odpoveď : funkcia je spojitá na celej číselnej linke okrem bodu. v ktorom trpí prelomom prvého druhu so skokom. Gap skok: (dve jednotky vyššie).

Príklad 5: Riešenie : každá z troch častí funkcie je kontinuálna v jej vlastnom intervale.
I) Vyšetrujeme bod pre kontinuitu.
1) - funkcia je definovaná v tomto bode.

2) Vypočítajte jednostranné limity:


znamená to, že existuje všeobecná hranica.
3) - limit funkcie v bode sa rovná hodnote danej funkcie v danom bode.
Takže funkcia kontinuálne v bode z definície kontinuita funkcie v bode.
II) Vyšetrujeme bod kontinuity.

1) - funkcia je definovaná v tomto bode.

2) Nájdite jednostranné obmedzenia:


Jednostranné limity sú konečné a odlišné, takže funkcia trpí medzerou prvého druhu so skokom v bode ,
Gap skok: (päť jednotiek nadol).
Výkres sa nachádza v prvej časti článku.
Odpoveď : funkcia je spojitá na celej číselnej línii okrem bodu. v ktorom trpí prelomom prvého druhu so skokom.

Príklad 7: Roztok :

I) Vyšetrujeme bod pre kontinuitu.

1) - funkcia je definovaná v tomto bode.

2) Nájdite jednostranné obmedzenia:


Levá strana je nekonečná, takže funkcia trpí diskontinuitou druhého druhu v bode ,
II) Vyšetrujeme bod kontinuity.

1) - funkcia je definovaná v tomto bode.

2) Nájdite jednostranné obmedzenia:


Jednostranné limity sú konečné a odlišné, takže funkcia trpí medzerou prvého druhu so skokom v bode ,
Dokončíme výkres:

Odpoveď : V bode funkcia trpí v tomto bode medzerou druhého druhu funkcia trpí prerušením prvého druhu skokom.

Príklad 9: Riešenie : preskúmajte bod kontinuity :

1) Funkcia nie je definovaná v tomto bode.

2) Vypočítajte jednostranné limity:


Levá strana je nekonečná, takže funkcia trpí diskontinuitou druhého druhu v bode ,
Dokončíme výkres:

Odpoveď : funkcia je spojitá na celej číselnej linke okrem bodu. v ktorom trpí medzery druhého druhu.

Autor: Emelin Alexander

Vyššia matematika pre externých študentov a nielen >>>

(Prejsť na domovskú stránku)

Ako môžem poďakovať autorovi?

Ako nájsť doménu funkcie?

Príklady riešení

Ak niekde niečo nie je, niekde tam niečo

Pokračujeme v štúdiu časti "Funkcie a grafika" a ďalšou stanicou našej cesty je Doména definície funkcií . Aktívna diskusia o tejto koncepcii sa začala už v prvej lekcii o funkčných grafoch , kde som považoval základné funkcie a najmä ich oblasti definície. Preto doporučujem čajníky začať so základmi tejto témy, pretože sa už nebudem zaoberať niektorými základnými bodmi.

Predpokladá sa, že čitateľ pozná oblasti definície základných funkcií: lineárne, kvadratické, kubické funkcie, polynómy, exponenciálne, logaritmus, sinus, kosínus. Sú definované na , Pre dotyčnice, arcsines, tak to je, odpustite =) Viac vzácnych grafov nie je okamžite zapamätaných.

Doména definície je zdanlivo jednoduchá vec a vzniká prirodzená otázka, o čom bude tento článok? V tejto lekcii uvažujem o bežných úlohách pri hľadaní domény funkcie. Okrem toho budeme opakovať nerovnosti s jednou premennou , zručnosti riešenia, ktoré budú potrebné v iných problémoch vyššej matematiky. Materiál, mimochodom, je celá škola, takže bude užitočná nielen pre študentov, ale aj pre študentov. Informácie, samozrejme, nepredstierajú, že sú encyklopedické, ale tu nie sú príliš vzdialené "mŕtve" príklady, ale pečené gaštany, ktoré sú odobrané z reálnych praktických prác.

Začnime s výrazným prerušením témy. Stručne o hlavnej veci: hovoríme o funkcii jednej premennej , Jeho doménou je súbor hodnôt "X", pre ktoré existujú hodnoty "hráčov". Zvážte podmienený príklad:

Doménou tejto funkcie je spojenie medzier:
(pre tých, ktorí zabudli: ikona zlúčenia). Inými slovami, ak z intervalu použijete hodnotu "X" alebo od alebo od , potom pre každú takúto "X" bude hodnota "hier".

Zhruba povedané, kde je doména - existuje funkčný graf. Ale polo-interval a bod "tse" nie je zahrnutý v doméne definície, takže grafika tam nie je.

Áno, mimochodom, ak nie je z terminológie a / alebo obsahu prvých odsekov jasné, je lepšie vrátiť sa k článku Grafy a vlastnosti základných funkcií .

Ako nájsť doménu funkcie? Mnohí ľudia si zapamätajú detské počítanie: "kameň, nožnice, papier" a v tomto prípade sa dá ľahko preformulovať: "koreň, zlomok a logaritmus". Ak teda narazíte na zlomok, koreň alebo logaritmus vo svojom živote, mali by ste byť veľmi, veľmi opatrní! Tangent, cotangent, arcsine a arc cosine sú oveľa menej bežné a budeme o nich hovoriť. Ale najskôr náčrty zo života mravcov:





; Dátum pridania: 2015-07-21 ; ; Zobrazenia: 43780 ; Obsahuje publikovaný materiál porušenie autorských práv? | | Ochrana osobných údajov OBJEDNAŤ PRÁCU


Nenašli ste to, čo ste hľadali? Použite vyhľadávanie:

Najlepšie hovory: Môžete si niečo kúpiť za štipendium, ale nič viac ... 7948 - | 6510 - alebo prečítajte všetky ...

Pozri tiež:

border=0
2019 @ edudocs.pro

Generovanie stránky za: 0.02 sek.