border=0


border=0

Definícia cyklickej podskupiny

Definícia. nechať , Cyklická podskupina generované prvkom sa nazýva množina ,

Táto definícia je správna, pretože - opäť titul , - opäť titul ,

Definícia. Skupina - cyklické, ak taký ,

Príklady cyklických skupín:
1) pretože ;
2) kde ,

Veta. nechať potom ,
Dôkaz.
Predpokladajme, že také existujú že , potom a , Preto poradie prvku je konečný , nechať a potom , Preto skupina pozostáva z prvkov , Dokážeme, že sú všetci iní. nechať a potom a , Získali sme preto protirečenie , všetky prvky sú odlišné a všetky kúsky, t.j. ,
Ak sú všetky stupne potom sa bude líšiť ,

Veta. Akákoľvek podskupina cyklickej skupiny je sama o sebe cyklická.
Dôkaz.
nechať , potom pozostáva z niekoľkých stupňov prvku , Všimnite si, že ak , potom , ak potom , Ak je však, potom obsahuje nielen jeden prvok obsahuje nejaký prvok kde (na základe vyššie uvedenej poznámky). nechať je najmenšie pozitívne celé číslo také , nechať a kde , potom , ak , dostaneme sa do rozporu s výberom čísla z toho dôvodu a , teda ,

Dodatok 1. Let a potom taký ,

Dodatok 2. Let (o ) a - podskupina v potom a ,
Dôkaz.
Podľa vety , nechať potom , teda , Teraz dokážeme začlenenie iným smerom. nechať ale teda , teda , t.j. a ,

Cvičenie. Dokážte to kde ,





Prečítajte si tiež:

Externý produkt skupín

Prsten sa nazýva komutatívny, asociatívny, antikomutatívny. Leží krúžok v algebre

Ábelova skupina v algebre

Euklidovský priestor

Algebra s násobením sa nazýva Lieova algebra

Späť na obsah: Algebra

2019 @ edudocs.pro