border=0


border=0

Funkcia prenosu.

Konečným cieľom analýzy ATS je vyriešiť (ak je to možné) alebo študovať diferenciálnu rovnicu systému ako celku. Zvyčajne sú známe rovnice jednotlivých väzieb, ktoré tvoria ATS, a vzniká stredný problém získania diferenciálnej rovnice systému podľa známych diferenciálnych rovníc jej väzieb. Pri klasickej forme zastúpenia DE je táto úloha spojená so značnými ťažkosťami. Použitie konceptu prenosovej funkcie ju výrazne zjednodušuje.

Nech je nejaký systém opísaný kontrolou formulára.

Zavedením notácie = p, kde p sa nazýva operátor diferenciácie alebo symbol, a teraz s týmto symbolom zaobchádzame ako s obyčajným algebraickým číslom, po vyradení x a x zo zátvoriek získame diferenciálnu rovnicu tohto systému vo forme operátora:

(a n p n + a n-1 p n-1 + ... + a 1 p + a 0 ) x out = (b m p m + b m-1 p m-1 + ... + b 1 p + b 0 ) x in . (3.38)

Polynóm v p stojí pri výstupnom množstve

D (p) = a n p n + a n -1 p n -1 + ... + a 1 p + a 0 (3,39)

sa nazýva jeho vlastný operátor a polynóm pri vstupnej veličine sa nazýva operátor nárazu

K (p) = b m p m + b m-l p m-1 + ... + b 1 p + bO. (3.40)

Funkcia prenosu je pomer operátora nárazu k jeho vlastnému operátorovi:

W (p) = K (p) / D (p) = x out / x in . (3.41)

V budúcnosti budeme takmer všade používať operátorskú formu písania diferenciálnych rovníc.

Typy spojení a algebra prenosových funkcií.

Získanie prenosovej funkcie ATS vyžaduje znalosť pravidiel na nájdenie prenosových funkcií skupín spojení, v ktorých sú spojenia určitým spôsobom spojené. Existujú tri typy zlúčenín.

1. Poradie, v ktorom je výstupom predchádzajúceho odkazu vstup pre nasledujúci (Obr. 3.12):

W 1 (p)
W 2 (p)
x in
x
x von


Obrázok 3.12. Sériové pripojenie odkazov.

Ako je zrejmé z rovnice (3.41), prenosová funkcia ktoréhokoľvek systému na jednej strane je pomer operátora nárazu k jeho vlastnému operátorovi a na druhej strane je pomer výstupnej veličiny k vstupnej. V tomto prípade má prenosová funkcia formu

Wc (p) = x out / x in = (x out / x) (x / x in ) = W1 (p) W2 (p). (3,42)

2. Paralelne, v ktorom má niekoľko odkazov spoločný vstup a pridávajú sa výstupné hodnoty týchto odkazov (Obr. 3.13):

W 1 (p)
W 2 (p)
x in
x out = x 1 + x 2
x 1
x 2


Obrázok 3.13. Paralelné spojenie liniek.

Nová ikona v tomto diagrame je sčítačka. Ak narazíte na zmiernenie so zatieneným sektorom, znamená to, že hodnota vstupujúca do tohto sektora zmení svoje znamenie.

Ako predtým, na základe konceptu funkcie prenosu získame:

Ws (p) = x out / x in = x 1 / x + x 2 / x = W1 (p) + W2 (p). (3.43)

3. Protismerné pripojenie alebo pokrytie linky spätnou väzbou (Obr. 3.14).

W 1 (p)
W 2 (p)
x
x in
x v ± x
x von


Obr. 3.14. Proti - paralelné pripojenie.

V závislosti od toho, či sa signál spätnej väzby x pridá k vstupnému signálu x alebo sa od neho odpočíta, rozlišuje sa pozitívna a negatívna spätná väzba.

Na základe vlastnosti funkcie prenosu môžeme písať

W1 (p) = x out / (x v ± x); W2 (p) = x / x von ; W c = x out / x in . (3.44)

Elimináciou vnútornej súradnice x z prvých dvoch rovníc získame funkciu prenosu pre také spojenie:

Wc (p) = W1 (p) / [1 ± W1 (p) W2 (p)]. (3.45)

Malo by sa pamätať na to, že v poslednom výraze znamienko plus zodpovedá negatívnej spätnej väzbe.

V prípade, že spojenie má niekoľko vstupov (ako napríklad predmet regulácie), zvažuje sa niekoľko prenosových funkcií tohto spojenia zodpovedajúcich každému zo vstupov, napríklad ak má rovnica spojenia tvar

D (p) y = K x (p) x + K z (p) z (3,46)

kde K x (p) a K z (p) sú operátormi akcií na vstupoch x a z, potom toto spojenie má prenosové funkcie pozdĺž vstupov x a z:

Wx (p) = Kx (p) / D (p); Wz (p) = Kz (p) / D (p). (3.47)

V budúcnosti, aby sme znížili položky vo výrazoch prenosových funkcií a príslušných operátorov, vynecháme argument „p“.

Zo spoločného posúdenia výrazov (3.46) a (3.47) vyplýva, že

y = W x x + W z z, (3,48)

to znamená, že vo všeobecnosti je výstupná hodnota akéhokoľvek spojenia s niekoľkými vstupmi rovná súčtu súčinov vstupných množstiev a prenosových funkcií pre príslušné vstupy.

Prenosová funkcia poruchy ATS.

Obvyklá forma štruktúry ATS pracujúca na odchýlke regulovanej premennej je takáto:

W o z = K z / D objekt W o x = K x / D
W p y
z
y
-x


Obrázok 3.15. Zatvorené ATS.

Upozorňujeme na skutočnosť, že regulačné opatrenie sa uplatňuje na objekt so zmenenou značkou. Vzťah medzi výstupom objektu a jeho vstupom cez kontrolér sa nazýva hlavná spätná väzba (na rozdiel od možných dodatočných spätných väzieb v samotnom kontroléri). Podľa filozofického významu regulácie je činnosť regulátora zameraná na zníženie odchýlky regulovanej premennej, a preto je hlavná spätná väzba vždy negatívna. Na obr. 3.15:

W o z - prenosová funkcia poruchy objektu;

W o x - prenosová funkcia objektu pre regulačný vplyv;

W p y - prenosová funkcia regulátora pre odchýlku y.

Diferenčné rovnice objektu a regulátora vyzerajú takto:


y = W x x + W o z z

x = - W p y y. (3.49)

Nahradením x z druhej rovnice do prvej a vykonaním zoskupenia získame rovnicu CAP:

(1 + W o x W p y ) y = W o z z. (3.50)

Preto je prenosová funkcia poruchy SAR

W c z = y / z = W o z / (1 + W o x W p y ). (3.51)

Podobným spôsobom môžete získať funkciu prenosu ATS pre kontrolnú akciu:

W c u = W o x W p u / (1 + W o x W p y ), (3.52)

kde W p u je prenosová funkcia ovládača pre riadiacu činnosť.

3.4 Nútené kmity a frekvenčné charakteristiky ATS.

V reálnych prevádzkových podmienkach je ATS často vystavená periodickým rušivým silám, ktoré sú sprevádzané pravidelnými zmenami v kontrolovaných množstvách a regulačnými vplyvmi. Napríklad oscilácie plavidla pri rozbúrenom mori, kolísanie frekvencie otáčania vrtule a ďalšie množstvá. V niektorých prípadoch môžu amplitúdy kmitania výstupných hodnôt systému dosiahnuť neprijateľne veľké hodnoty, čo zodpovedá rezonančnému fenoménu. Dôsledky rezonancie sú často fatálne pre systém, ktorý ich prežíva, napríklad prevrhnutie lode, zničenie motora. V regulačných systémoch sú také javy možné pri zmene vlastností prvkov spôsobených opotrebením, nahradením, rekonfiguráciou, poruchami. Potom bude potrebné určiť bezpečné rozsahy prevádzkových podmienok alebo správne nakonfigurovať ATS. Tieto otázky sa tu budú brať do úvahy pri aplikácii na lineárne systémy.

Nech niektorý systém má štruktúru uvedenú nižšie:

x = A x sinωt
y = A y sin (ωt + φ)


Obrázok 3.16. ATS v režime núteného kmitania.

Ak na systém pôsobí periodické pôsobenie x s amplitúdou Ax a kruhovou frekvenciou w, potom sa na konci procesu prechodu na výstupe vytvoria oscilácie rovnakej frekvencie s amplitúdou A y a posunuté vzhľadom na vstupné vibrácie o fázový uhol j. Parametre výstupných oscilácií (amplitúda a fázový posun) závisia od frekvencie hnacej sily. Úlohou je určiť parametre výstupných kmitov zo známych parametrov vstupných kmitov.

V súlade s prenosovou funkciou SAR, znázornenou na obrázku 3.14, má jej diferenciálna rovnica tvar

(a n p n + a n-1 p n-1 + ... + a 1 p + a 0 ) y = (b m p m + b m-1 p m-1 + ... + b 1 p + b 0 ) x. (3.53)

Nahradíme (3.53) výrazy xay zobrazené na obr. 3.14:

(a n p n + a n-1 p n-1 + ... + a 1 p + a 0 ) Yy sin (wt + j) =

= (b m p m + b m-l p m-1 + ... + b 1 p + b 0 ) A x sinwt. (3.54)

Ak vezmeme do úvahy oscilačný vzorec posunutý o štvrtinu periódy, potom sa v rovnici (3.54) nahradia funkcie sínusov funkciami kosinov:

(a n p n + a n-1 p n-1 + ... + a 1 p + a 0 ) Ay cos (wt + j) =

= (b m p m + b m-l p m-1 + ... + b 1 p + b 0 ) A x coswt. (3.55)

Vynásobíme rovnicu (3.54) i = a pridáme výsledok získaný z (3.55):

(a n p n + a n -1 pn -1 + ... + a 1 p + a 0 ) Ay [cos (wt + j) + isin (wt + j)] =

= (b m p m + b m-l p m-1 + ... + b 1 p + b 0 ) A x (coswt + isinwt). (3,56)

Aplikácia Eulerovho vzorca

exp (± ibt) = cosbt ± isinbt,

do formy dostaneme rovnicu (3.56)

(a n p n + a n-1 p n-1 + ... + a 1 p + a 0 ) Ay exp [i (wt + j)] =

= (b m p m + b m-l p m-1 + ... + b 1 p + b 0 ) A x exp (iwt). (3.57)

Vykonávame operáciu diferenciácie času, ktorú poskytuje operátor p = d / dt:

[a n (iw) n + a n-1 (iw) n-1 + ... + a 1 iw + a 0 ] A y exp [i (wt + j)] =

= [b m ( iw) m + b m-1 ( iw) m-1 + ... + b 1 iw + b 0 ] A x exp (iwt). (3.58)

Po jednoduchých transformáciách spojených s redukciou exp (iwt) dostaneme

(3.59)

Pravá strana expresie (3.59) je podobná expresii prenosovej funkcie CAP a dá sa z nej získať nahradením p = iw. Analogicky sa nazýva komplexná prenosová funkcia W (iw) alebo charakteristika amplitúdovej fázy (AFC). Často sa používa aj pojem frekvenčná odozva. Je zrejmé, že táto frakcia je funkciou zložitého argumentu a môže byť zastúpená aj v tejto podobe:

W (iw) = M (w) + iN (w), (3,60)

kde M (w) a N (w) sú skutočné a imaginárne frekvenčné charakteristiky.

Pomer A y / A x je modul AFX a je funkciou frekvencie:

AY / A x = R (w)

a nazýva sa amplitúdovo-frekvenčná charakteristika (AFC). fázové

posun j = j (w) je tiež funkciou frekvencie a nazýva sa fázovou frekvenčnou odozvou (PFC). Výpočtom R (w) a j (w) pre frekvenčný rozsah (0 ... ¥) je možné vykresliť graf AFC na komplexnú rovinu v súradniciach M (w) a iN (w) (Obr. 3.17).

iN (w)
R (w)
j (w)
M (co)

Obrázok 3.17. Graf AFC.

Nasledujúce vzťahy sú zrejmé:

M = Rcosj; N = Rsinj;

; j = arctg (N / M). (3.61)

Frekvenčná charakteristika.

Frekvenčná odozva ktoréhokoľvek systému je najviac zaujímavá, pretože umožňuje určiť amplitúdu kmitov výstupnej veličiny pri známej amplitúde a frekvencii vstupnej veličiny. Na obr. 3.18 ukazuje možné typy frekvenčných charakteristík v praxi.

ω
R (co)
ω cp
ω res


Obrázok 3.18. Frekvenčná charakteristika.

Frekvenčná odozva systému 1 vykazuje rezonančný pík zodpovedajúci najväčšej amplitúde nútených kmitov. Práca v oblasti blízko rezonančnej frekvencie môže byť smrteľná a často neprijateľná podľa prevádzkových predpisov konkrétneho regulačného objektu. Frekvenčná odozva typu 2 nemá rezonančný pík a je výhodnejšia pre mechanické systémy. Je tiež vidieť, že so zvyšujúcou sa frekvenciou klesá amplitúda výstupných oscilácií. Fyzicky sa to dá ľahko vysvetliť: akýkoľvek systém je vďaka svojim zotrvačným vlastnostiam ľahšie vystavený kývaniu pri nižších frekvenciách ako pri vysokých. Vychádzajúc z určitej frekvencie sa výstupné kmitania stávajú bezvýznamnými a táto frekvencia sa nazýva medzná frekvencia a frekvenčný rozsah pod medznou frekvenciou sa nazýva frekvenčná šírka pásma. V teórii automatického riadenia je medzná frekvencia taká, že frekvenčná odozva je 10 krát menšia ako pri nulovej frekvencii. Vlastnosť systému absorbovať vysokofrekvenčné oscilácie sa nazýva vlastnosť dolnopriepustného filtra.

Zvážte metódu výpočtu frekvenčnej odozvy príkladu spojenia druhého poriadku, ktorého diferenciálna rovnica je

(T2 2 p 2 + T 1 p + 1) y = kx. (3.62)

Pri problémoch nútených kmitov sa často používa vizuálnejšia forma rovnice.

(p2 + 2xw 0 p + w 0 2 ) y = kw 02 x, (3,63)

kde sa nazýva prirodzená frekvencia kmitania bez útlmu, x = T 1 w 0/2 je koeficient útlmu.

Funkcia prenosu v tomto prípade vyzerá takto:

(3,64)

Nahradením p = iw získame charakteristiku amplitúdovej fázy

(3,65)

Pomocou pravidla delenia komplexných čísel získame výraz pre frekvenčnú odpoveď:

(3,66)

Určujeme rezonančnú frekvenciu, pri ktorej má frekvenčná odozva maximum. Toto zodpovedá minimu menovateľa výrazu (3.66). V rovnici nule derivát menovateľa vo frekvencii w máme:

2 (w 0 2 - w 2 ) (- 2 w) + 4x 2 w 0 2 * 2w = 0, (3,67)

odkiaľ dostávame hodnotu rezonančnej frekvencie, ktorá sa nerovná nule:

w cut = w 0 r 1 - 2x 2 . (3,68)

Analyzujme tento výraz, pre ktorý zvažujeme jednotlivé prípady, ktorým rôzne hodnoty koeficientu útlmu zodpovedajú.

1. x = 0. Rezonančná frekvencia sa rovná vlastnej hodnote a modul frekvenčnej odozvy potom prechádza do nekonečna. Ide o takzvanú matematickú rezonanciu.

2. Pretože frekvencia je vyjadrená ako kladné číslo a od (68) v tomto prípade sa získa buď nula, alebo imaginárne číslo, vyplýva z toho, že pre také hodnoty koeficientu útlmu nemá frekvenčná odozva rezonančný pík (krivka 2 na obr. 3.18).

3. Frekvenčná odozva má rezonančný pík a so znížením koeficientu útlmu sa rezonančná frekvencia priblíži k svojmu a rezonančný pík sa stáva vyšším a ostrejším.





Prečítajte si tiež:

Diskrétne funkcie, ich rozdiely a súčty.

Zásady automatickej regulácie.

Prípad nesprávneho zaradenia regulátora.

Riadenie a regulácia.

Späť na obsah: AUTOMATICKÁ REGULÁCIA Teória

2019 @ edudocs.pro