border=0


border=0

Skupina non-abelian

Definícia. Non-Abelianova skupina sa nazýva jednoduchá, ak má iba dve normálne podskupiny - skupinu jednotiek a skupinu samotnú.

Tu je niekoľko príkladov jednoduchých skupín:

Veta. skupiny na jednoduchá.
(skupina Abelian, preto nie je jednoduchý; skupina obsahuje normálnu podskupinu preto nie je jednoduché).
Dôkaz.

Lemma 1. Podskupina generované trojitými cyklami.
Dôkaz.
Vieme, že každá permutácia je produktom cyklov dĺžky 2 (transpozície). pretože vyhľadávanie v sú rovnaké, potom sa rovnajú produktu párneho počtu transpozícií. Zoberme si výsledok dvoch transpozícií:
ak odlišné,
ak odlišné,
,
tj zoskupením transpozícií do dvoch dostaneme súčin cyklov dĺžky 3.

Prepustiť existuje normálna podskupina a ,

Lemma 2. Ak obsahuje trojitý cyklus ( ) ,
Dôkaz.
Urobte ľubovoľný trojitý cyklus potom taký alebo , potom všetky prvky prechádzajú do seba. Jedna z týchto substitúcií bude rovnaká, vyberieme ju. získame pretože , Preto podskupina preto všetky trojité cykly patria (podľa Lemmy 1), ,

Lemma 3. Ak obsahuje zástupné znaky pri ktorej je pri rozklade na nezávislé cykly cyklus dĺžky potom ,
Dôkaz.
nechať potom , tj obsahuje cyklus dĺžky 3 (podľa Lemmy 2), ,

Lemma 4. Ak obsahuje zástupné znaky ktorých rozklad na nezávislé cykly potom obsahuje najmenej dva cykly dĺžky 3 ,
Dôkaz.
nechať potom , tj obsahuje cyklus s dĺžkou 5 (podľa Lemma 3), ,

Lemma 5. Ak obsahuje zástupné znaky ktorých rozklad na nezávislé cykly obsahuje jeden cyklus dĺžky 3 a cykly dĺžky 2 ,
Dôkaz.
nechať potom preto (podľa Lemma 2), ,

Lemma 6. Ak obsahuje zástupné znaky ktorých rozklad na nezávislé cykly potom obsahuje iba cykly dĺžky 2 ,
Dôkaz.
ak , pretože máme najmenej päť znakov , potom preto (podľa Lemma 2), ,
ak potom preto (podľa Lemma 4), ,

Teraz v skutočnosti dokážeme vetu. Vezmite si svojvoľne , Spĺňa teda podmienku jedného z našich lemmatov , Veta je dokázaná.

Tu je ďalší príklad jednoduchej skupiny: skupina - ortogonálne symetrické matrice.

Definícia. prepínač element zo skupiny nazývaný prvok ,

Cvičenie. ,

Ponuka. máme ak sú rôzne.
Dôkaz.
,

Ponuka. V skupine máme ak sú rôzne.
Dôkaz.

Definícia. Skupinový komutátor - (alebo ) je sada všetkých produktov prepínačov.

Ponuka. ,
Dôkaz.
                nechať a potom
, A pretože potom
, teda je podskupina, teraz dokazujeme jej normálnosť.
nechať potom ,
- znovu preto vypínač rovná sa produktu prepínačov, t. ,

Veta.
                1) na a na ,
2) na ,
Dôkaz.
                1) , je preto rovnomernou substitúciou , Navyše sme to dokázali už skôr a že akákoľvek rovnomerná permutácia je produktom trojitých cyklov, t.j. produkt výhybiek. teda ,
Máme to teda buď jednoduché alebo zápasy , ale je preto skupina, ktorá nie je Ábelom teda ,
2) , má teda determinant rovný jednote , Navyše to vieme ak , teda , Z tých istých úvah to dostávame ,

Cvičenie. Dokážte to ,
Prednáška 6 (8.10.2001)

Ponuka. nechať potom sú rovnocenné tieto podmienky:
1) - abelian;
2) ,
Dôkaz.
                Píšeme reťazec ekvivalentných vyhlásení: - Abelian
,





Prečítajte si tiež:

Euklidovský priestor

Veta: Akákoľvek celočíselná obdĺžniková matica elementárnymi transformáciami riadkov a stĺpcov sa redukuje na diagonálnu formu

Skupina G

Ábelova skupina v algebre

Skupiny algebra

Späť na obsah: Algebra

2019 @ edudocs.pro