border=0


border=0

Veta: Akákoľvek celočíselná obdĺžniková matica elementárnymi transformáciami riadkov a stĺpcov sa redukuje na diagonálnu formu

Veta. Akákoľvek celočíselná obdĺžniková maticová transformácia riadkov a stĺpcov sa redukuje na diagonálnu formu kde ,
Dôkaz. (indukciou počtu riadkov)
Indukčná základňa , Matica má tvar , Ak je nula, potom už má požadovaný tvar. Ak to nie je nula, môžeme to predpokladať bez straty všeobecnosti je najmenší modulový nenulový prvok (inak stĺpce preusporiadame). Môžeme to tiež predpokladať (v opačnom prípade vynásobte stĺpec číslom ), rovnako urobíme všetky prvky pozitívne. nechať kde , Odčítanie z druhého stĺpca dostaneme linku , ak 0, potom najmenší modul nenulového prvku klesol, pri tejto operácii niekoľkokrát zistíme, že modul už nemôže klesať, pretože je vyššia ako nula. preto, a dostaneme reťazec , Keď sme to niekoľkokrát urobili, skončili sme s líniou vymieňame stĺpce, dostaneme je diagonálna matica a ,
Indukčný prechod. Nech je výrok vety pravdivý linky, dokazujeme to linky. Máme maticu Označte podľa , Predpokladajme, že to viedlo na tak čo ďalej neklesá. Usporiadajte riadky a stĺpce av prípade potreby ich vynásobte , zistíme, že toto minimum je dosiahnuté na prvku a , Potom to pochopíme ak ,

Lemma. Všetky prvky prvého riadku a prvý stĺpec sú rozdelené do ,
Dôkaz.
Z prvého riadku vyberte ľubovoľný prvok dostaneme to kde , ak potom odpočítanie od 1. stĺpec vynásobený dostať sa na miesto číslo teda znížená, čo je nemožné. tak a všetky prvky prvého riadku sú oddelené , Podobne to dokážeme aj v prvom stĺpci.

Pretože všetky prvky prvého riadku a prvého stĺpca sú rozdelené , odčítaním prvého riadku (vynásobeného požadovaným koeficientom) od zvyšku a odčítaním prvého stĺpca (vynásobeného požadovaným koeficientom) od zvyšku získame maticu a , Ďalej, predpokladom indukcie, môžeme maticu zredukovať na diagonálnu formu pozostávajúce z linky. Výsledkom je požadovaný rozklad.

Cvičenie. číslo rovná sa najväčšiemu spoločnému faktoru všetkých prvkov matice.

Príklad:
                Prinášame do diagonálnej formy maticu , máme to NODU všetkých prvkov , preto, je možné získať (napr. vynásobením prvého stĺpca číslom a pridanie sekundy k nemu): , potom budeme konať podľa algoritmu z dôkazu vety:
,

Veta. nechať je slobodná abelianska skupina a je jeho podskupina, potom v existuje taký základ ktoré existujú taký - základňa v ,
Dôkaz.
                nechať - základňa v , nechať - základňa v potom
, Dostávame celú maticu privedieme ho do diagonálnej formy , Pri vykonávaní elementárnych transformácií sme v roku 2006 jednoducho prešli na nový základ a v tak sme našli základ v taký bude základom v roku 2007 ,

Spomeňte si na definíciu konečne vytvorenej abelianskej skupiny a dokázajte to

Veta. nechať je konečne vytvorená skupina Ábelov je priamy súčet voľnej abelianskej skupiny a primárnych cyklických skupín (cyklické skupiny, ktorých poradie sa rovná primárnej sile).
Dôkaz.
                nechať , t.j. generované prvkami , - abeliansku skupinu zadarmo , Konštruujeme homomorfizmus spravidla , Je zrejmé, že mapovanie surjektivní. Jeho jadro je podskupina v , nechať - základňa v taký - základňa v (tu a ). V dôsledku toho to máme

dajte sem na ,
(pomocou faktorizačnej vety).
Uvažujeme o samostatnom termíne teda
, Všeobecne povedané skupiny nemusí byť primárny, ale v tomto prípade sa ďalej rozkladajú na priamy súčet primárnych cyklických skupín.

Dôsledok. Konečná abelovská skupina je priamym súčet primárnych cyklických skupín.
Dôkaz.
                Konečne sa vytvorí akákoľvek konečná skupina Ábelov. A od tej doby voľná abelianska skupina je spočítateľná, potom nie je v rozklade navrhnutom v teórii. V dôsledku toho zostávajú iba primárne cyklické skupiny.

Príklad.
                Vezmite skupinu poriadku potom sú možné tieto možnosti:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Celkovo teda existuje 6 neizomorfných abeliánskych skupín poriadku ,

Definícia. Skupina bez krútiaceho momentu, ak neobsahuje neidentické prvky konečného poriadku.

Veta. Konečne vytvorená abelovská skupina bez torzií je zadarmo.
Dôkaz.
                Podľa predchádzajúcej vety to máme preto tieto podmienky nie sú a je slobodná abelianska skupina.





Prečítajte si tiež:

Ábelova skupina v algebre

Lineárny priestor

Weil Algebra

Algebra s násobením sa nazýva Lieova algebra

Ľavá susedná trieda Pravá susedná trieda

Späť na obsah: Algebra

2019 @ edudocs.pro