border=0


border=0

Stabilita automatických systémov.

Rovnako ako sa termín „stabilita“ používa v bežnom slova zmysle, aj v automatizácii tento pojem do určitej miery znamená schopnosť ktoréhokoľvek systému odolávať faktorom, ktoré spôsobujú rovnováhu systému. Prísne znenie je nasledujúce.

Stabilita - je to schopnosť systému dosiahnuť rovnovážny stav po ukončení faktorov, ktoré ho vyvážili. Stav rovnováhy je charakterizovaný časovo nemennosťou regulovaných množstiev. Ak sa systém nedostane do rovnovážneho stavu, ale nekonečne sa od neho vzdiali, nie je stabilný. Nestabilné systémy nie je možné prevádzkovať, pretože v nich dochádza k nekontrolovanej zmene kontrolovaných množstiev. Strata stability systémom vedie spravidla k nehodám regulačného objektu, často katastrofického charakteru. Ako príklad možno uviesť prevrátenie lodí, ktoré stratili stabilitu, zničenie motorov („rozstup“), výbuchy v chemických závodoch atď. Požiadavka na stabilitu je preto povinná pre každý účinný systém. Malo by sa poznamenať, že k strate stability ATS môže dôjsť v dôsledku zmeny jeho vlastností, ktorá je spôsobená opotrebovaním prvkov a (veľmi často) nekvalifikovanými ľudskými činmi pri pokusoch o zmenu nastavenia systému alebo počas preventívnych opatrení. Taktiež poznamenávame, že pojem udržateľnosť má kvalitatívny, nie však kvantitatívny charakter. Dá sa teda povedať, že systém je stabilný alebo nestabilný, nedá sa však povedať, že systém je „viac“ alebo „menej“ stabilný.

Povaha prechodných procesov v stabilných a nestabilných systémoch pôsobením vonkajších faktorov je zrejmá z obr. 19. Stabilné systémy na konci procesu prechodu dospejú k určitej ustálenej hodnote regulovanej premennej (obr. 19, a), v nestabilných systémoch (obr. 19, b) sa regulovaná premenná mení neobmedzene. Ak má proces v systéme charakter oscilácií v ustálenom stave (ako hranica medzi tlmenými a divergujúcimi osciláciami), potom hovoria, že systém je na hranici stability (obr. 3.19, c). Je zrejmé, že na praktické použitie je prijateľná iba možnosť (3.19 písm. A). Vonkajšou známkou stabilného systému je teda obmedzenosť regulovanej premennej: y = ogre.

a
b
v
T
T
na
na
na
T

Obrázok 3.19. Prechody v systémoch:

a - udržateľný; b - nestabilný;

c - ATS na hranici stability.

Východiskovým údajom na riešenie problému stability systému je jeho matematický opis. Prvým riešením tohto problému, nie bez chýb, bol anglický fyzik James Maxwell (1868).

Posúdenie stability ATS podľa jeho koreňov

charakteristická rovnica (Maxwellova veta)

Nech je systém opísaný diferenciálnou rovnicou

(a n p n + a n-1 p n-1 + ... + a 1 p + a 0 ) y = bx. (3.69)

Jeho riešenie, ako každá lineárna rovnica, je hľadané vo forme

,

kde je všeobecné riešenie homogénnej rovnice

(a n p n + a n-1 p n-1 + ... + a 1 p + a 0 ) y = 0, (3,70)

je konkrétnym riešením rovnice (3.69). Podmienkou pre ohraničenie y je ohraničenosť oboch týchto výrazov.

Ako vždy je konkrétnym riešením hodnota regulovanej premennej v novom ustálenom stave spôsobená činnosťou x = x 0 :

= konšt. ; x = x 0 .

Substitúcia v (3.69) poskytuje stav v ustálenom stave:

a 0 = bx 0 , = bx 0 / a 0 .

V skutočných podmienkach je dosah vždy obmedzený, a preto je konkrétne riešenie obmedzené. Z toho vyplýva dôležitý záver: pravá strana diferenciálnej rovnice neovplyvňuje stabilitu lineárneho systému, preto nezávisí od vonkajších vplyvov, či má systém stabilitu vlastnosti alebo nie. Stabilita ATS je teda určená iba formou ľavej strany jej rovnice. Všeobecné riešenie:

= C1 exp (p 1 t) + C2 exp (p 2 t) + ... + C n exp (p n t), (3,71)

kde C1, C2 , ... Cn sú integračné konštanty, p1, p2, ... pn sú korene charakteristickej rovnice

a n p n + a n-1 p n-1 + ... + a 1 p + a 0 = 0.

Pretože integračné konštanty sú ohraničené veličiny, je zrejmé, že ohraničenie všeobecného riešenia závisí od formy funkcií

exp (p k t), k = 1,2, ... n,

to znamená z koreňov charakteristickej rovnice. Vo všeobecnosti môže byť medzi koreňmi skutočný, komplexný a imaginárny. Každý typ koreňov vo výraze (71) zodpovedá určitému typu pojmu a prirodzene sa vyžaduje ohraničenie každého z nich (tabuľka 1).

Tabuľka 1

Typ koreňa Druh termínu
skutočné p k = a k C k exp (a k t)
komplex pk , k +1 = a k ± wkj exp (a k t) [C k cos (w k t) + C k + 1 sin (w k t)]
Predstavivosť p k, k + 1 = ± w k i C k cos (w k t) + C k + 1 sin (w k t)

Tretí prípad poskytuje vo všeobecnom riešení netlmenú zložku a ak sú ostatné komponenty konvergentné, potom je systém na hranici stability. Táto vlastnosť sa často používa pri analýze stability ATS. Výraz v hranatých zátvorkách je obmedzený počet. Preto ohraničenie všeobecného riešenia závisí od toho, či sú funkcie exp (a k t) ohraničené alebo nie pre všetky k Î [1, n]. Pre zrejmé t> 0 si to vyžaduje


, k = 1,2, ... n. (3,72)

Maxwellova veta: pre stabilitu lineárneho systému je nevyhnutné a postačujúce, aby skutočné časti všetkých koreňov charakteristickej rovnice tohto systému boli záporné.

Osobitné prípady: dostatočné podmienky stability pre systémy prvého a druhého poriadku.

Charakteristická rovnica SAR 1. rádu

a 1 p + a 0 = 0

má jediný skutočný koreň p = -a 0 / a 1. Je záporné, ak majú oba koeficienty rovnaké znaky. Berúc do úvahy možnosť zvrátenia znakov obidvoch koeficientov, je možné podmienku dostatočnej stability formulovať ako požiadavku, aby koeficienty charakteristickej rovnice boli kladné.

Charakteristická rovnica ATS 2 rády

a 2 p 2 + a 1 p + a 0 = 0

má korene

,

Analýza tohto výrazu vedie k záveru, že v tomto prípade je podmienkou dostatočnej stability pozitivita všetkých koeficientov charakteristickej rovnice a ak sa koeficienty líšia znakom, potom je systém nestabilný.

Stabilné ATS vysoké objednávky.

Pre stabilitu systémov 3 a vyšších rádov je požiadavka pozitivity všetkých koeficientov charakteristickej rovnice nevyhnutná, ale nepostačujúca. Inými slovami, ak všetky korene majú záporné reálne časti, potom všetky koeficienty budú kladné, ale opak nie je pravdivý.

Výpočet koreňov rovníc tretieho a štvrtého stupňa je spojený so značnými ťažkosťami a korene rovníc piateho a vyššieho stupňa podľa Ábelovej vety sa nedajú vyjadriť pomocou koeficientov pomocou znakov algebraických akcií a operácie extrahovania druhej odmocniny. To znamená, že pri nepochybnej platnosti Maxwellovej vety je jeho použitie obmedzené. Preto boli vyvinuté také metódy na analýzu stability systémov, keď sa nevyžaduje stanovenie koreňov. Všetky tieto metódy sa nazývajú kritériá stability. Tu považujeme za možné zvážiť najbežnejšie z nich.

Hurwitzovo kritérium (1895).

Rovnica systému poriadku n

a n p n + a n-1 p n-1 + a n-2 p n-2 + ... + a 2 p + a 1 p + a 0 = 0

budú mať korene iba s negatívnymi časťami materiálu, ak sú splnené tieto požiadavky:

všetky koeficienty charakteristickej rovnice a všetkých diagonálnych maloletých Hurwitzovho determinantu by mali byť pozitívne:

a k > 0, k = 0,1,2, ..., n; Mk > 0, k = 0,1,2, ..., n-1.

Pravidlo zostavovania Hurwitzovho determinantu.


a n-1 a n-3 a n-5 ……………… ... 0

a n a n-2 a n-4 …………………. ,

0 a n-1 a n-3 . …………………. ,

0 a n a n-2 ………………… ...

M 0 = ........ ... ........................................

, 0 …………………… .a 0 ... ..0

, 0…. ………………… a 1 0

0 0 ... .. ................... a 2 a 0

Na hlavnej diagonále sú koeficienty rovnice, počínajúc druhou vľavo. Usporiadanie koeficientov v stĺpcoch v smere zhora nadol zodpovedá ich umiestneniu v rovnici v smere sprava doľava. Miesta chýbajúcich koeficientov sú vyplnené nulami. Diagonálne maloleté sú determinanty získané z Hurwitzovho determinantu postupným odstraňovaním pravých stĺpcov a spodných riadkov. Napríklad maloletý s indexom (n-3) vyzerá takto:

a n -1 a n -3 a n -5

Mn-3 = an a -2 a n-4 = a -n a 1- n a 2- n-3 + a n a n-1 a n-5 - a n a n-3 2 - a n -4 a n-1 2

0 a n -1 a n -3 .

Všimnite si, že v indexovanom poradí, ktoré sme prijali, sa vedľajší index zhoduje s indexom koeficientu v pravom dolnom rohu.

Úpravou kritéria Hurwitz je kritérium Lienar-Shipar. Autori tohto kritéria zistili, že je možné robiť s menšími nerovnosťami, ako vyžaduje Hurwitzovo kritérium. Podľa tohto kritéria sa požiadavka pozitivity všetkých diagonálnych maloletých nahrádza požiadavkou pozitivity diagonálnych maloletých s nepárnymi ukazovateľmi.

Michajlovovo kritérium (1938).

Nech formulár má vlastný prevádzkovateľ systému

D (p) = a n p n + a n-1 p n-1 + ... + a 1 p + a 0 . (3.73)

Ak p 1 , p 2 , ..., p n sú jeho korene (aj keď nám neznáme), potom to možno podľa Bezoutovej vety považovať za produkt

D (p) = a n (p - pi) (p - P2) ... (p - p n ). (3,74)

Nahradíme p = iw:

D (iw) = a n (iw - p1) (iw - p2) ... (iw - pn) = U (w) + iV (w). (3.75)

Študujeme na komplexnej rovine v súradniciach (a, iw) správanie vektora (iw - p k ), keďže w sa mení od - ¥ do + ¥, a a a w sú skutočné a imaginárne časti koreňa pk . Pretože pre stabilný systém a <0 sú konštrukcie umiestnené vľavo od imaginárnej osi (Obr.3.20).

α
p k
iω-p k
π
ω → + ∞
ω → -∞


Ris.3.20. Správanie diferenčného vektora.

Keď sa w zmení z - ¥ na + ¥, vektorový rozdiel sa otočí v kladnom smere o uhol p:

arg (iw - p k ) = p, wÎ (- ¥, + ¥).

Vektor D (iw) = U (w) + iV (w) je súčinom vektorov a keď sa w zmení z - ¥ na + ¥, jeho rotácia bude np, ako súčet otáčok jednotlivých vektorov:

arg [U (w) + iV (w)] = np, wÎ (- ¥, + ¥).

Daním hodnôt w v rozsahu (- ¥, + ¥) a vypočítaním komponentov vektora U (w) a V (w) môžeme skonštruovať krivku v súradniciach U a iV na komplexnej rovine. Táto krivka je symetrická okolo skutočnej osi. Zvyčajne uvažujte o jeho polovici zodpovedajúcej zmene w v rozsahu (0, + ¥) a táto krivka sa nazýva Mikhailovova krivka. Je zrejmé, že pre tento rozsah variácií w je rotácia vektora U (w) + iV (w)

arg [U (w) + iV (w)] = n (p / 2), wÎ (0, + ¥).

Odtiaľ nasleduje formulácia Michajlovovho kritéria.

ATS je stabilná, ak Mikhailovova krivka začína na kladnej časti reálnej osi a postupne prechádza toľko štvrtín komplexnej roviny, ako je poradie rovnice systému.

Príklady Michajlovových kriviek pre stabilné systémy rôznych rádov sú uvedené na obr. 3.21.

U
U
U
iV
iV
iV

Obrázok 3.21. Mikhailovove krivky stabilných ATS 3, 4 a 6 rádov.

Pri nestabilných ATS Mikhailovove krivky neprechádzajú postupne správnym počtom štvrtín (Obr. 3.22).

U
iV

Obrázok 3.22. Nestabilné objednávky ATS 4.

Uplatňovanie kritéria Michajlov.

1. Zaznamená sa vlastný operátor systému.

D (p) = a n p n + a n -1 p n -1 + ... + a 1 p + a 0 .

2. Striedanie p = iw sa uskutoční:

D (iw) = a n (iw) n + a n-1 (iw) n-1 + ... + a 2 (iw) 2 + a 1 iw + a 0 = U (w) + iV (w).

3. Skutočné a imaginárne časti sa rozlišujú:

U (w) = 0 - a 2 w2 + a 4 w4 - a 6 w6 + ...;

V (w) = a1w - 3w3 + a 5w5 -a7w7 + ...

4. Po sérii hodnôt pre w v rozsahu (0, ¥) sa vypočítajú zodpovedajúce súradnice vektora Mikhailovovej krivky a zostrojí sa táto krivka.

5. Na základe krivky sa urobí záver o stabilite.

Poznámka. Pre každý systém Mikhailovova krivka ide do nekonečna v tejto štvrtine poriadku systému a táto vlastnosť by sa mala použiť pri výbere rozsahu variácie w.

Nyquistovo kritérium (1932).

Toto kritérium nám umožňuje posúdiť stabilitu uzavretej ATS na základe charakteristiky amplitúdovej fázy tohto systému v otvorenom stave. Vzťah medzi fázovou charakteristikou otvorenej slučky systému Wp so zatvorenou W3 je nasledujúci:

W3 = Wp / (1 + Wp); Wp = W3 / (1- W3).

Zoberme si schému ATS na obrázku 3.23. Systém s funkciou prenosu s otvorenou slučkou Wp je uzavretý jednou negatívnou hlavnou spätnou väzbou.

W str
-1
x = A x sinwt
y = A y sin (wt + φ)
-y


Obrázok 3.23. ATS je skratovaný.

Uzavretý okruh mentálne prerušte na mieste vyznačenom čiarkovanou čiarou. Na vstupe excitujeme harmonické kmity x. K osciláciám dôjde na výstupe otvoreného systému

y = A y sin (wt + j),

a na výstupe spätnoväzbovej linky budú mať oscilácie opačné znamienko, ktoré možno interpretovať ako fázový posun o uhol p:

y = - Ay sin (wt + j) = Ay sin (wt + j - p).

Vezmime si určitú frekvenciu, pri ktorej sa fázový posun dosiahne v otvorenom systéme

j = p.

Ak sa pri tejto frekvencii ukáže, že amplitúda A y je menšia ako Ax , potom to znamená, že pri prechode cez otvorenú ATS budú oscilácie vlhké a ATS v uzavretom stave stabilné. Ak je naopak uzavretá ATS nestabilná. Pretože pomer amplitúdy výstupných oscilácií k amplitúde vstupu je modul AFX, je menší ako jednota pre stabilný systém pri frekvencii zodpovedajúcej fázovému posunu p. Odtiaľ nasleduje formulácia Nyquistovho kritéria.

Uzavretý systém bude stabilný, ak je zodpovedajúci otvorený systém stabilný a AFC tohto systému nepokrýva bod súradnicami (-1,0i) (obr. 3.24).

M
iN
,
, 0i
M
iN
b
,
-
1,0i


Obrázok 3.24. Otvorené systémy AFH:

a - uzavretý systém je stabilný;

b - uzavretý systém je nestabilný.

D - oblasť parametra.

Táto metóda analýzy ATS pre stabilitu sa líši od ostatných tým, že odpovedá nielen na otázku, či je ATS stabilná alebo nie, ale tiež nám umožňuje určiť pre niektoré systémové parametre, ktoré nás zaujímajú, regióny týchto parametrov, v ktorých si ATS zachováva stabilitu. Najbežnejším je rozdelenie D na dva parametre.

Nech má tvar CAP charakteristickú rovnicu

a n p n + a n-1 p n-1 + ... + Ap k + ... + Bp s + ... + a 1 p + a 0 = 0, (3,76)

kde A a B sú koeficienty rovnice, pre ktorú chceme nájsť oblasti, v ktorých je ATS stabilná. Prinášame systém na hranicu stability, pre ktorú vyžadujeme prítomnosť čisto imaginárnych koreňov rovnice (3.76) p = iw:

a n (iw) n + a n-1 (iw) n-1 + ... + A (iw) k + ... + B (iw) s + ... + a 1 (iw) + a 0 = 0. (3,77)

Komplexné číslo napísané vľavo sa podľa definície rovná nule, keď sa jeho skutočná a imaginárna časť rovná nule. Pri ich výbere dostaneme:

Fl (A, w) = 0; F2 (B, w) = 0. (3,78)

Niekedy je možné vylúčiť w z týchto rovníc a potom závislosť

B = f (A). (3,79)

Funkcia B = f (A) je hranica stability a zobrazuje imaginárnu os komplexnej koreňovej roviny. Rozdeľuje rozsah možných hodnôt A a B podľa nevyhnutného stavu stability na oblasti stability a nestability. Najjednoduchší spôsob, ako rozlíšiť oblasť stability, je urobiť tak. V určitej oblasti požiadajte o bod so súradnicami (A = A 1 , B = B 1 ) a pomocou ktoréhokoľvek z kritérií, ktoré sme už zvážili, analyzujte stabilitu tohto systému. Ak je výsledok pozitívny, znamená to, že celý región, do ktorého vybraný bod patrí, je oblasťou stability a šrafuje sa pozdĺž hranice so smerom šrafovania smerom dovnútra. Ak má čiara hranice stability vlastné priesečníky, potom po opustení šrafovanej oblasti pokračuje šrafovanie z tej istej strany pozdĺž krivky. Typickým príkladom oddielu D je Vyshnegradského kritérium, ktoré sa zvažuje nižšie.

Vyshnegradského kritérium (1876).

Vzťahuje sa na systémy tretieho poriadku a súčasne bol vyvinutý v súvislosti s potrebou analyzovať ATS rýchlosti hriadeľa parného motora s priamo pôsobiacim odstredivým regulátorom. Charakteristická rovnica systému

3 p3 + a 2 p2 + a 1 p + a 0 = 0.

Nahradením premennej

p3 (a 3 / a 0 ) = U3,

dostávame sa k výrazu

U 3 + AU 2 + BU + 1 = 0, (3,80)

nazval Vyshnegradského rovnicu, kde koeficienty

;

nazval parametre Vyšnegradského.

Najprv si všimneme, že potrebné podmienky stability sú vyjadrené v tejto forme:

A> 0, B> 0. (3,81)

Systém sme umiestnili na hranicu stability, za ktorú v rovnici nahradíme p = iw (3,80):

(iw) 3 + A (iw) 2 + B iw + 1 = 0,

, ktoré po oddelení materiálu a imaginárnych častí dáva


1 - aw 2 = 0

Bw - w 3 = 0. (3,82)

Z druhej rovnice systému (82) nahradíme w 2 = B do prvej, čím spolu s (81) získame podmienky hranice stability:

A> 0, B> 0, AB = 1. (3,83)

Na Vyshnegradskom diagrame (Obr. 3.25) je krivka nazývaná Vyshnegradského hyperbola hranica stability a rozdeľuje rozsah možných hodnôt koeficientov A a B na dve časti, z ktorých jedna je oblasť stability. Na detekciu tejto oblasti považujeme zámerne stabilný systém, ktorého korene sú charakteristické

U1 = U2 = U3 = - 1.

Potom možno charakteristický polynóm vyjadriť ako

U3 + AU2 + BU + 1 = (U - U1) (U - U2) (U - U3) = (U + 1) 3 = U3 + 3U2 + 3U + 1,

odkiaľ A = 3, B = 3. Tieto súradnice určujú bod M na diagrame, a preto oblasť nad Vyshnegradským hyperbolom je stabilnou oblasťou. Potom sú podmienky stability uvedené takto:

A> 0, B> 0, AB> 1.

,
M
stabilný.
AB = 1

Obr. 3.25. Vyshnegradsky diagram.





Prečítajte si tiež:

O stabilite nelineárnych systémov.

Zásady automatickej regulácie.

Typické dynamické odkazy.

Funkcia prenosu.

Typické vonkajšie vplyvy.

Späť na obsah: AUTOMATICKÁ REGULÁCIA Teória

2019 @ edudocs.pro