border=0


border=0

Homomorfizmus Monomorfizmus Epimorfizmus Izomorfizmus Automorfizmus v Algebre

Definícia. zobraziť nazýva sa homomorfizmus , Injekčný homomorfizmus sa nazýva monomorfizmus . Surjective homomorfizmus sa nazýva epimorfizmus . Dvojväzbový homomorfizmus sa nazýva izomorfizmus . Izomorfizmus skupiny na seba sa nazýva automorfizmus .

príklady:
                1) , , - homomorfizmus.
2) , , - homomorfizmus.
3) - afinitná transformačná skupina -rozmerné zobrazenie priestoru zapnuté - skupina lineárnych transformácií -dimenzionálny priestor. Priradíme afinnú transformáciu k jej diferenciálu, t. - prechádza afinitná transformácia , Toto je homomorfizmus.
4) Nech existuje skupina vziať prvok , Automatizácia prvkov pomocou prvku : , Tento automorfizmus je netriviálny (nie identický), ak existuje taký ,

Definícia. Skupina sa nazýva abelian ( komutatívna ), ak ,

Ponuka. ak je teda homomorfizmus a ,
tu - jednotkový prvok skupiny , - jednotkový prvok skupiny , - obrátiť sa na prvok skupiny , - obrátiť sa na prvok skupiny ,
Dôkaz.
                1) Pretože potom , Máme
,
2) teda ,

Ponuka. homomorphism je monomorfizmus vtedy a len vtedy, ak musí byť , t.j. úplný inverzný obraz jednoty sa rovná jednote.
Dôkaz.
ak monomorfizmus a , pretože a potom injekčne ,
nechať (úplný prototyp) a , potom
, Podľa stavu , t.j. , teda - injekčne, t.j. je monomorfizmus.

Definícia. Nechajte mapovanie - homomorfizmus skupín. Potom je jadrom tejto mapy sada , t.j. úplný prototyp jednotky.

Podľa predchádzajúcej vety dostaneme - monomorfizmus iba vtedy, ak ,

Cvičenie. nechať je skupinový homomorfizmus je podskupina v ,

Definícia. podskupina v skupine nazýva sa normálne (označené ) ak , t.j. ak ,

Ponuka. nechať - podskupina v potom sú nasledujúce vyhlásenia rovnocenné:
1) ;
2) ;
3) každá pravá susedná trieda sa zhoduje s ľavou, t.j. ,
Dôkaz.
Očividne.
Musí sa to dokázať , nech potom , teda teda , Opak je podobný: teda a ,
Máme to , Vezmite ľubovoľný prvok potom , t.j. ale potom , Dostali sme to , Teraz vám ukážeme, že týmto spôsobom môžete získať akýkoľvek prvok , t.j. že , ak potom teda ale potom , teda ,

Príklad:
Pomocou tohto tvrdenia to dokážeme nie je normálna podskupina v pretože jeho ľavá a pravá susedná trieda sa nezhodujú.

Veta. nechať je teda homomorfizmus ,
Dôkaz.
Najprv to dokážeme je podskupina v ,
ak , potom pretože ,
ak , potom pretože ,
Teraz dokazujeme normálnosť tejto podskupiny.
teda a ,

príklady:
1) , , potom ,
2) , , potom ,
3) , , potom ,

Ponuka. ak - homomorfizmus a potom ,
Dôkaz.
,

Definícia. nechať , skupinový faktor je veľa príbuzných tried na s prevádzkou ,

Veta. - skupina .
Dôkaz.
Najprv dokážeme, že operácia je správne definovaná. nechať a , ukážeme to , Máme a potom , a teda ,
Združenie operácie: ,
Prvok jednotky: ,
Reverzný prvok: ,

zobraziť , nazývaný prírodný epimorfizmus.

Veta. zobraziť - epimorfizmus a ,
Dôkaz.
pretože , potom akákoľvek susedná trieda má prednosť, je to epimorfizmus. pretože potom ,

Veta (o homomorfizme). nechať je teda skupinový homomorfizmus (Izomorfné).
Dôkaz.
Konštruujeme izomorfizmus : , , Toto mapovanie je definované správne, pretože ,
Dokážeme, že ide o homomorfizmus:
,
Dokážme dvojstrannosť, t. že je to izomorfizmus. pretože , toto mapovanie je dvojradné.

Príklad:
Ukážeme, ako využiť túto vetu na preukázanie izomorfizmu , Musíme definovať homomorfizmus taký , Napríklad , Potom máme vetu o homomorfizme ,
Prednáška 3 (09.17.2001)

Veta. Skupina cyklických rádov izomorfný pre skupinu ,
Dôkaz.
nechať , Definujeme homomorfizmus nasledovne: , Toto je homomorfizmus, pretože , Potom máme vetu o homomorfizme ,

Cvičenie. Nekonečná cyklická skupina je izomorfná pre skupinu ,

Definícia. nechať - skupina. - ľubovoľný súbor. koná ďalej ak existuje mapovanie , t.j. ktorý pár spája nejaký prvok , a a ,

príklady:
                1) koná ďalej - -dimenzionálny komplexný priestor podľa nasledujúceho pravidla: let je základ, v tom je vektor má súradnice potom ,
2) Let - podskupina v potom koná ďalej spravidla ,
3) Let a , Na scéne máme prirodzené pôsobenie symetrickej skupiny ,
4) Let a - polynómy z neznáme. Akciu definujeme podľa pravidla ,
5) koná ďalej časovanie , pretože a potom to bude naozaj akcia.

Ponuka. nechať koná ďalej a , potom mapovanie je bijection na scéne ,
Dôkaz.
Na preukázanie tejto skutočnosti stačí uviesť spätné mapovanie. Bude to mapovanie , Bude to skutočne naopak, pretože a , Preto je to dvojhodina.

Definícia. nechať koná ďalej a , obiehať je veľa , stabilizátor je veľa ,

Cvičenie. Dokážte to je podskupina v ,

Definícia. nechať - skupina , strediace je veľa , Trieda mateov obsahujúcich je veľa ,

príklady:
1) V akcii na - -dimenzionálny priestor budú mať iba dva rôzne obežné dráhy: všetky nenulové vektory (obežná dráha ľubovoľného nenulového vektora), nula (nulová obežná dráha).
2) V rámci činnosti podskupiny na skupinu máme a ,
3) V akcii máme konjugáciu , ,

Ponuka. Ak sa obežné dráhy pretínajú, zhodujú sa.
Dôkaz.
nechať , máme teda , máme , Podobne aj my ,

Ponuka. ,
Dôkaz.
Predpokladajme, že ale potom , Preto existuje dvojsmerka medzi množinou obežných dráh a množinou ľavých susedných tried na , teda je počet rôznych susedných tried a podľa Lagrangeovej vety to je ,

Dôsledok. ,

Cvičenie. Dokážte, že ak potom ,

Definícia. nechať koná ďalej , element sa vzhľadom na túto akciu nazýva pevný ( nemenný ), ak , t.j. ak ,

príklady:
1) Pri pôsobení symetrickej skupiny na polynómy sú symetrické polynómy pevné.
2) V akcii konjugáciou máme tento prvok nehybný iba vtedy a len vtedy , Sada všetkých pevných prvkov skupiny sa nazýva stred skupiny (označené symbolom ).

Cvičenie. je normálna abelianska podskupina ,

Veta. nechať potom ,
Dôkaz.
nechať ak je nehybný, potom , Píšeme túto rovnosť:
,
V ľavej matici na svojom mieste hodnota položky a napravo teda a zostávajúce prvky sú nuly. pretože to platí pre všetkých potom matica diagonálne a diagonálne sú rovnaké čísla, t.j. ,

Cvičenie. Nájdite skupinové centrá a ,

Veta. na ,
Dôkaz.
trvať - akákoľvek nesamostatná substitúcia. Rozkladáme ho na produkt nezávislých cyklov:
1) Nechajú sa v tomto rozklade dva cykly, t.j. , Vezmite striedanie potom ,
2) V tomto rozklade nechajte aspoň jeden cyklus dĺžky 3, t.j. , , Vezmite striedanie potom ,
3) Predpokladajme, že v tomto rozklade je iba jeden cyklus dĺžky 2, t.j. , pretože pracujeme v skupine na potom tam , Vezmite striedanie potom ,
Zvyšný prípad - nie jediný cyklus - bude to jediná náhrada. Preto je možné stanoviť iba jednu náhradu.

Cvičenie. Dokážte to ,

Veta. Dva vyhľadávanie od sú konjugované iba vtedy, ak majú rovnakú cyklickú štruktúru, t.j. sady dĺžok cyklov sú rovnaké.
Dôkaz.
, nechať potom , pretože , potom preto sú tieto cykly nezávislé a získali sme rovnakú cyklickú štruktúru.
, Ukážme príkladom, ako podľa dvoch substitúcií a nájsť vyhľadávanie taký , nechať a potom teda ,

Definícia. Skupina vyzvala -skupina, ak je jej poradie prvotnou silou ,

Veta. ak - skupina potom ,
Dôkaz.
Rozísť sa do tried konjugovaných prvkov (nepretínajú sa) , Jednotlivé triedy pozostávajú z jedného ústredného prvku. ak potom nie je trieda singletonov - vydelené , Máme to kde zodpovedá všetkým triedam singletonov a - nie singleton. teda teda ,

Dôsledok. Objednávková skupina ( len) abelian.
Dôkaz.
ak potom veta alebo ,
1) Let potom , teda cyklický, t.j. , nechať potom a nechaj potom pretože , Máme to (prvky a vymeniť a spolu navzájom, pretože sú centrálne). teda - abelian a , t.j. , bol v rozpore so skutočnosťou, že ,
2) Ak potom preto skupina Ábela.
Prednáška 4 (09.24.2001)

Veta (Sylowova prvá veta). nechať - skupina objednávok kde je prvočíslo, potom v skupine existuje podskupina rádu ,
Dôkaz.
Vykonávame dôkaz indukciou na objednávku skupiny.
Základná indukcia.
ak vyhlásenie je zrejmé, ako podskupinu môžeme zobrať samotnú skupinu.
Indukčný prechod.
1) Nechajte v skupine existuje necentrálny prvok, t.j. , nechať - trieda konjugovaných prvkov obsahujúcich , pretože potom navyše kde je element centralizátor , Vieme to vždy podskupina.
1a) Let potom a , Potom predpokladom indukcie (od roku 2006) ) v , a teda aj v , existuje podskupina objednávok ,
1b) Let , t.j. , Rozdeľte skupinu na disjunktívne triedy konjugovaných prvkov. , , pretože potom ,

Lemma. nechať je konečná skupina Ábelov a je prvotné číslo deliace sa potom v existuje prvok poriadku ,
Dôkaz.
Indukciu vykonávame v poriadku ,
Základná indukcia: ak Toto vyhlásenie je zrejmé.
Indukčný prechod.
1) Ak je poradie ktoréhokoľvek prvku delené potom nechaj potom ,
2) Nech nie je poradie žiadneho prvku delené , Vezmite ľubovoľný (nie jediný) prvok , zvážiť potom - vydelené , Podľa hypotézy indukcie vRÁTANE , zvážiť v , nechať - prírodný homomorfizmus potom , Podľa vety o homomorfizme potom , tj akcie , tj poriadok vydelené , čo je v rozpore s predpokladom bodu 2. Lema je dokázaná.

Vraciame sa k dôkazu vety. Máme to a je abelianska skupina. Podľa lemmy v existuje prvok poriadku , nechať potom a (Vzhľadom k tomu, je ústredným prvkom). potom , Podľa hypotézy indukcie v existuje podskupina poriadku , Zvážte prirodzený homomorfizmus , zvážte úplný inverzný obraz podskupiny : , t.j. a , Podľa vety o homomorfizme a ,
2) Ak je potom žiadne prvky mimo stred , t.j. je abelianska skupina. Argumentujeme podobným spôsobom ako v predchádzajúcej časti, keď použijeme lemmu, dostaneme vyhlásenie o vete. Veta je dokázaná. ,

Definícia. nechať - konečná skupina a kde je prvočíslo a , Potom podskupina v poriadku nazýva sa sylow podskupina .

Veta (Silovova druhá veta). nechať - konečná skupina je prvočíslo deliace poradie skupiny. Potom nejaké -subgroup (podskupina rádu ) je obsiahnutá v niektorej podskupine Sylow, okrem toho sú akékoľvek dve podskupiny Sylow konjugované.
Dôkaz.
nechať - podskupina v , - silovskaya podskupina. nechať , Definujte akciu: koná ďalej na pravidlo: ak potom , - nedelené , obiehať , kde niektoré funkcie z , Rozísť sa do disjunktných akčných dráh , Ak nie sú všetky obežné dráhy singleton, potom to je zle. Preto existuje jediná obežná dráha, t.j. tam taký , čo je rovnocenné podmienke ale - podskupina Sylow.
ak - Sylow pretože majú rovnaké poradie. Preto sú dve podskupiny Sylow konjugované.

Veta (3. Sylowova veta). nechať - počet rôznych Sylowov podskupiny v , potom akcie a ,
Dôkaz.
nechať - veľa zo všetkých Sylowov podskupiny v potom , na skupina pôsobí konjugáciou, t.j. ak a potom , Druhou vetou Sylowa je množina je obežná dráha akejkoľvek sily podskupiny. tj pri tejto akcii existuje iba jedna obežná dráha a z toho dôvodu ,
nechať zvážte túto akciu v časovanie. sa opäť rozpadne na obežnú dráhu a poradie každého z nich sa rozdelí a preto je silou , ale je pri tejto akcii invariantný, t. - Toto je singletonová obežná dráha. Nech už je nejaká iná jednoprvková obežná dráha, napríklad, , t.j. , nechať ,

Lemma. veľa je podskupina v a ,
Dôkaz.
nechať a , potom
a
, t.j. - naozaj je podskupina.
nechať a kde a potom
, t.j. , Lema je dokázaná.

Dokončujeme dôkaz vety. Zvážte túto podskupinu , potom , t.j. , nechať - prírodný homomorfizmus. potom , Ale ak potom kde a potom teda , V tomto prípade akcie , t.j. - stupeň čísla , teda - stupeň čísla a , pretože - Sylow, že , ale , Podobne získame , Ale predpokladom a iný, dostal protirečenie.
Takže v iba jedna jediná obežná dráha ( ), potom sa poradie ktorejkoľvek inej obežnej dráhy vydelí z toho dôvodu ,

Aplikácia Silových teorémov.
1) Vezmite skupinu , nájdite Sylow podskupiny. vieme to , t.j. a silovskaya -subgroup má poriadok , Jedna z podskupín Sylow je podskupina. , ostatné sú s ňou spojené, t.j. sú si rovní ,
2) Zvážte skupinu , , Jeho 2 podskupiny Sylow (spolu 3): , , , Jej 3. skupina Sylow (je len jedna): ,
3) Zvážte skupinu , , Celkom môžu byť 2 podskupiny Sylow 1 alebo 3. Take , Zvážte podskupiny , , , ... Všetci sú Sylow, a preto sú medzi nimi rôzne, celkovo teda existujú tri podskupiny Sylow. Sylow 3 podskupiny (celkom 4): , , a ,

Cvičenie. Dokážte, že ak je najmenšie prvočíslo deliace číslo a - podskupina indexu (je tu všetko rôzne súvisiace triedy na ) ,





Prečítajte si tiež:

Algebra s násobením sa nazýva Lieova algebra

Lineárny priestor

Definícia cyklickej podskupiny

Prsten sa nazýva komutatívny, asociatívny, antikomutatívny. Leží krúžok v algebre

Skupiny algebra

Späť na obsah: Algebra

2019 @ edudocs.pro