border=0


border=0

Lineárny priestor

                Dajte nám pole a lineárny priestor nad týmto poľom. nechať sú teda všetci nezávislí lineárni operátori - skupina týkajúca sa prevádzky multiplikátora operátorov. nechať je ľubovoľná skupina, potom zastúpenie v je homomorfizmus ,
ak a potom , Vlastníctvom homomorfizmu máme a , takže sme dostali akciu na ako na množstvo.

príklady:
1) Zvážte skupinu - symetrická skupina štvorstena - máme teda homomorfizmus , tj máme zastúpenie skupiny , Toto je príklad trojrozmerného znázornenia skupiny. ,
2) Zoberme si kocku a skupinu rotácií (vzhľadom na určitú os), ktoré ju preložia do seba. Zoberte diagonály kocky (celkom 4). Každá rotácia preusporiada uhlopriečky, t.j. je permutácia , Musí sa preukázať, že každá permutácia z realizované, nechajme to ako cvičenie. Stále je potrebné preukázať jedinečnosť, t. ak diagonály zostanú na svojom mieste (t. j. permutácia je jednoduchá), potom zostanú všetky vrcholy na svojom mieste (t. j. transformácia je jedinečná), ponecháme to aj ako cvičenie. Takže sme dostali ďalší pohľad na skupinu , Toto je príklad ďalšieho trojrozmerného znázornenia.
3) To vieme pod izomorfizmom - rotácia uhla a - symetria okolo osi , Získajte skupinové zobrazenie vo forme symetrickej skupiny pravidelného trojuholníka (toto zobrazenie je dvojrozmerné).
4) Späť do skupiny , konštruujeme dvojrozmerné zobrazenie tejto skupiny. Zvážte polynómy:

ak potom - permutácia premenných v súlade so substitúciou , Ale bez ohľadu na to, ako premeníme premenné, znovu dostaneme jeden z týchto polynómov. tj permutácie nejako preusporiada naše tri polynómy. Máme homomorfizmus (a jeho jadrom je ), existuje aj homomorfizmus , Zloženie je homomorfizmus - dvojrozmerné zastúpenie skupiny ,
5) Zvážte skupinu , označujeme nekonečné dimenzie tejto skupiny. Vezmite polynómový prsteň , Potom homomorfizmus podľa pravidla bude predstavovať (nekonečnú) skupinu ,
6) Zvážte skupinu a polynómový kruh , nechať potom homomorfizmus podľa pravidla bude skupinová prezentácia ,

nechať a , prezentácia a sa nazývajú ekvivalentné, ak také dvojstranné lineárne mapovanie existuje že a máme ,
V jazyku matíc (v prípade ) to znamená:
nechať - základňa v , - matica na základe , - matica na základe , - matica na základe , Potom sa podmienka rovnocennosti zastúpení prepíše vo forme: , t.j. , tj a sú matice toho istého operátora v bázach a , Z toho predovšetkým vyplýva, že ,

Zvážte skupinu znova a jeho dvojrozmerné znázornenia:
a ,
Cvičenie. ak (charakteristika poľa), potom sú tieto reprezentácie rovnocenné. A ak potom nie ekvivalentné.

V nasledujúcom texte predpokladáme, že pole je pole skutočných alebo komplexných čísel.

Veta. Akákoľvek konečná rozmerná reálna (komplexná) reprezentácia konečnej skupiny ekvivalent ortogonálneho (unitárny).
Dôkaz.
                Prijať svojvoľný základ a definovať skalárny produkt: ak a potom , Predstavujeme ďalší skalárny produkt , Dokážeme, že je to skutočne skalárny produkt: , ak potom teda , tj bude to skutočne skalárny produkt.
nechať potom , Preto každý operátor zachováva skalárny produkt a je ortogonálny (unitárny).

Dôsledok. Ak je podprostor nemenné vo vzťahu k všetkým prevádzkovateľom kde potom kde je podpriestor nemenný vo vzťahu ku všetkým prevádzkovateľom ,

Definícia. nechať a , potom zobraziť taký sa nazýva priamy súčet zastúpení a , Pohľad a sú nazývané subview v ,

Z priebehu lineárnej algebry vieme, že ak - invariantný podpriestor , potom má matica ľubovoľného operátora tvar , A ak potom ,

Definícia. idea nezmeniteľný, ak je neexistujú žiadne netriviálne (nenulové a samotné priestory) invariantné podprostory. Zastúpenie je úplne redukovateľné, ak ide o priamy súčet nezmeniteľných.

Mashkeho veta. Akákoľvek konečná rozmerná reálna (komplexná) reprezentácia konečnej skupiny je úplne redukovateľná.
Dôkaz.
                nechať , je invariantný podprostor minimálnej nenulovej dimenzie; , tiež invariantný vo vzťahu k , potom sa naše zastúpenie rozloží na priamu sumu nezmeniteľného ( ) a čiastkové reprezentácie nižšej dimenzie. Ďalej je možné použiť indukciu rozmeru znázornenia.

Príklad nezrušiteľného zastúpenia:
, Dokážme, že toto zastúpenie je nezmeniteľné ako skutočné. Predpokladajme, že sa podáva, t. existuje invariantný podprostor, t.j. podľa Mashkeho vety je to priamy súčet jednorozmerných zobrazení, t. existuje základ, na ktorom sú matice písané diagonálne pretože všetky takéto matrice potom dochádzajú ale to nie je pravda. Dostali sme sa do rozporu s predpokladom existencie invariantného podpriestoru, preto neexistuje a zastúpenie je neredukovateľné.

Cvičenie. Dokážte, že dve trojrozmerné reprezentácie skupiny, ktorú sme skúmali na začiatku prednášky nie sú rovnocenné a obidve sú neredukovateľné.

Veta. Akákoľvek neredukovateľná konečná dimenzionálna komplexná reprezentácia abelianskej skupiny je jednorozmerná.
Dôkaz.
                Nechajte sa vyjadriť , nechať potom má svoj vlastný význam a vlastný vektor , Potom subprostor vlastných vlastníkov nenulové. Navyše dokazujeme, že je nemenný vo vzťahu ku všetkým prevádzkovateľom :
trvať a , nech potom teda - vlastný vektory a podpriestor sú opäť nemenné.
tj pretože výkon je nezmeniteľný a odlišné od nuly. tj , Ber svojvoľne a je preto invariantný podpriestor - jednorozmerné.

Veta. Počet nekvivalentných ireducibilných komplexných zobrazení konečnej abelianskej skupiny rovná sa jej poriadku.
Dôkaz.
                Vezmite si ľubovoľnú abeliansku skupinu potom , ak ide do potom ide do , t.j. by mal ísť do koreňa stupne jednoty. Pre každého existuje toľko možností, aký je jeho poriadok, kombinujúc zo všetkého, dostávame, že celkovo existuje toľko možností, aký je poriadok skupiny.

príklady:
                1) , celkovo sú to 4 nezmeniteľné komplexné reprezentácie, zapíšeme ich do tablety:

(tu v tabuľke je to, čo prvok zo stĺpca ide, keď je uvedený z riadku).
2) - opäť budú predložené 4 príspevky:

3) , celkový počet zobrazení bude 2:

Jednorozmerné zobrazenie je homomorfizmus , Opisujeme všetky takéto homomorfizmy. pretože potom je abelianska skupina. Preto jadro tohto homomorfizmu musí obsahovať komutant skupiny, t.j. , Vzhľadom na homomorfizmus môžeme uvažovať o homomorfizme konajúc spravidla: , A naopak, ak je daný homomorfizmus môžeme uvažovať o homomorfizme je kompozíciou prírodného homomorfizmu a homomorfizmus , Môžeme teda identifikovať homomorfizmy a homomorfizmy ,
príklady:
                1) , , - skupina rádu 2, , Má iba dva názory: a , tj v skupine existujú iba dve jednorozmerné zobrazenia: a ,
2) , ak - nepárne a ak - rovnomerne.
ak - nepárne. Máme , existujú dva názory: a ( , ).
ak - rovnomerne. Máme , existujú štyri reprezentácie ( a ).

Veta. Akékoľvek nezmeniteľné zložité zastúpenie skupiny má rozmer ,
Dôkaz.
                nechať - priestor zastúpení. nechať zvážiť - konečný rozmer. ak potom , preto, je invariantný podprostor, t.j. kvôli nezvratnosti zastúpenia z toho dôvodu je konečný.
operátor má vlastný vektor taký , Označujeme , ukážeme to - je nemenný. Máme a , preto, - je nemenný a je dôsledkom nezvratnosti zastúpenia z toho dôvodu ,

ak , , potom maticu reprezentácie skupiny má tvar , , pretože potom , t.j. je koreň stupňa z ,
Späť na zobrazenie skupín , nechať , t.j. a vlastnosti polí sú vzájomné. Zvážte priestor na základe potom je reprezentácia. Rozlišujeme dva podpriestory: a , Sú invariantní.

Cvičenie. Dokážte to (je dôležité, že ).

Veta. ak potom - nezmeniteľné.
Dôkaz.
                nechať , , a existuje (bez straty všeobecnosti to predpokladáme ). ak potom (Vzhľadom k tomu, ). Preto nie všetky sú si navzájom rovní (predpokladáme to bez straty všeobecnosti) ).
Máme , , potom a , tj môžeme získať vektor , Podobne (namiesto neho) akýkoľvek vektor ) dostaneme všetky vektory (Ak je potom dostaneme vektor pridať k tomu dostaneme ). títo vektor tvorí základ v preto v žiadny invariantný podprostor (od jedného vektora môžeme získať všetky vektory ) nesnížitelný.

na zastúpenie, ktoré sme práve získali, je rovnocenné dihedrickej skupine (dvojrozmerné zobrazenie).
na toto znázornenie je ekvivalentom symetrickej skupiny štvorstena (trojrozmerné zobrazenie).
na existuje jednorozmerný a rozmerové zobrazenie.





Prečítajte si tiež:

Euklidovský priestor

Skupiny algebra

Homomorfizmus Monomorfizmus Epimorfizmus Izomorfizmus Automorfizmus v Algebre

Ľavá susedná trieda Pravá susedná trieda

Veta: Akákoľvek celočíselná obdĺžniková matica elementárnymi transformáciami riadkov a stĺpcov sa redukuje na diagonálnu formu

Späť na obsah: Algebra

2019 @ edudocs.pro