border=0


border=0

Skupina G

Definícia. nechať - skupina. dať , Skupina sa nazýva riešiteľný, ak ,

príklady:
                1) Ábelovské skupiny sú rozhodujúce, t.j. ,
2) pretože z toho dôvodu je abelianska skupina. preto, a riešiteľné.
3) Kedy vieme to , preto, pre všetkých a skupina neriešiteľný.

Ponuka. nechať - homomorfizmus skupín. potom a ak - potom príhodne ,
Dôkaz. (indukciou dňa )
Základná indukcia. , obidve tvrdenia sú pravdivé.
1) Nechaj na tvrdenie je pravdivé, dokazujeme to , , ak potom kde potom pretože indukciou ,
2) Podobne nechajme tvrdenie je pravdivé, dokazujeme to , Musíme to dokázať pre akýkoľvek prvok existuje taký , Máme to kde hypotézou indukcie kde , Ale potom z toho dôvodu ,

Ponuka. ,
Dôkaz. (indukciou dňa )
Základná indukcia. , vyhlásenie je pravdivé.
Nech je vyhlásenie pravdivé dokázať to , Ber svojvoľne potom kde , nechať potom pretože indukciou , preto, ,

Cvičenie. nechať - podskupina v , ak je potom rozpustný tiež riešiteľné.

Ponuka. ak , potom sú nasledujúce dve vyhlásenia rovnocenné:
1) riešiteľné;
2) a riešiteľné.
Dôkaz.
,
Na základe predchádzajúceho cvičenia budú riešiteľné. Zvážte prirodzený homomorfizmus , , Tento homomorfizmus je preto vždy adjektívny máme to , pretože je potom rozpustný taký teda teda riešiteľné.
,
nechať a , potom z toho dôvodu , preto, , t.j. riešiteľné.

Veta. nechať - skupina. Nasledujúce vyhlásenia sú rovnocenné:
1) - riešiteľné;
2) existuje niekoľko normálnych podskupín taký - Abelian.
Dôkaz.
,
dať potom a - Abelian, pretože skupina komutátorov je vždy Ábelov.
(indukciou dňa ).
Indukčná základňa, , potom a je Abelian, preto je rozhodujúci.
Nech je vyhlásenie pravdivé dokázať to , V skupine existuje niekoľko dĺžok preto predpokladom indukcie riešiteľné. Okrem toho, a je Abelian (rozhodujúce), a preto - riešiteľné.

Veta. konečným skupina je riešiteľná.
Dôkaz. (indukcia na objednávku skupiny).
Indukčná základňa, teda - Abelian a riešiteľný.
Nech je vyhlásenie pravdivé dokázať to , Zvážte centrum vieme to , - Abelian (rozhodnuteľný) a , t.j. (riešiteľné indukčnou hypotézou), a preto riešiteľné.

Zvážte súbor - veľa horných trojuholníkových matíc veľkosti s nenulovými číslami polí na diagonále. Zvážte oveľa viac - podmnožina s jednotkami na diagonále.

Cvičenie. Dokážte to je skupina násobenia matíc a podskupina.

Ponuka. a ,
Dôkaz.
                Zvážte mapovanie mapovanie v - veľa súborov nenulové čísla polí , Toto mapovanie podlieha pravidlu , Predstavujeme operáciu násobenia v sade : , teraz je skupina Ábelov a je navyše skupinový homomorfizmus teda , teda je abelianska skupina izomorfná , t.j. - Abelian. Zvážte prirodzený homomorfizmus potom , preto, ,

Veta. Skupina vždy riešiteľné.
Dôkaz.
                Na preukázanie vety je postačujúce preukázať rozpustnosť skupiny a využiť predchádzajúcu vetu. Dôkazom toho je indukcia dňa ,
Indukčná základňa, , - riešiteľné.
Nech je vyhlásenie pravdivé dokázať to , Zvážte mapovanie definované nasledujúcim pravidlom: let potom , ak potom ,

Lemma. - homomorfizmus skupín.
Dôkaz.
,

zvážiť pretože potom je skupina Ábelov (rozhodujúca). Okrem toho - za predpokladu, že indukcia je rozhodujúca. teda riešiteľný a riešiteľné.





Prečítajte si tiež:

Externý produkt skupín

Ábelova skupina v algebre

Ľavá susedná trieda Pravá susedná trieda

Definícia cyklickej podskupiny

Skupina G a jej normálne podskupiny

Späť na obsah: Algebra

2019 @ edudocs.pro