Podiel na sociálnych. siete:


KOMPLEXNÉ ČÍSLA A ČINNOSTI NA TOM




obsah

§1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA A ČINNOSTI NA TOM
§2 SEKVENIE KOMPLEXNÝCH ČÍSEL S SÉRIAMI S KOMPLEXNÝMI ČLENMI
§3. FUNKCIE KOMPLEXNÉHO VARIABILNÉHO
§4 OBMEDZENIE KOMPLEXNEJ VARIABILNEJ FUNKCIE. KONTINUITA
§5. ROZDELENIE FUNKCIÍ KOMPLEXNÉHO VARIABILNÉHO PODMIENKU COSHI-RIMAN
§6 INTEGRAL Z KOMPLEXNEJ VARIABILNEJ FUNKCIE
§7. Integrálna Cauchyova veta. Cauchy Formula
§8. JEDNOTNÁ KONVERGENCIA FUNKČNEJ SÉRIE ABELOVEJ TEOREMU
§9. TAYLOROVÉ ROZSAH ANALYTICKEJ FUNKCIE
§10. LORAN SÉRIE IZOLOVANÉ ŠPECIÁLNE BODY
§11. ODVODY ZÁKLADNÉ DOPYTOVÉ TEOREM.
§12. VÝPOČET URČENÝCH INTEGRÁLOV NA ZÁKLADE ODVODOV
odkazy

KOMPLEXNÉ ČÍSLA A ČINNOSTI NA TOM

Dokonca aj najjednoduchšie algebraické operácie na reálnych číslach (extrakcia odmocniny záporného čísla, riešenie kvadratickej rovnice s negatívnym diskriminačným) ju prinášajú za hranice množiny reálnych čísel. Ďalšie zovšeobecnenie pojmu číslo vedie k zložitým číslam. Pozoruhodnou vlastnosťou množiny komplexných čísel je jej blízkosť vzhľadom na základné matematické operácie. Inými slovami, základné matematické operácie na komplexných číslach nie sú odvodené zo súboru komplexných čísel.

Komplexné číslo ( v algebrickej forme ) je výrazom

kde - ľubovoľné reálne čísla, - imaginárna jednotka určená podmienkou ,

Počet znakov nazývaná skutočná časť komplexného čísla označované ako (z latinky " realis "), číslo nazvaná pomyselná časť zložitého čísla a označuje ho (z latinského " imaginarius ").

Dve zložité čísla a sú rovnaké, ak a len vtedy, ak sú ich skutočné a pomyselné časti rovnaké: , , Dve zložité čísla sú rovnaké alebo nie sú rovnaké (nie sú zavedené pojmy "viac" a "menej" pre zložité čísla).

Komplexný konjugát s číslom volané číslo , Samozrejme, komplexné - konjugované číslo na zodpovedá číslu : ,

Aritmetické operácie. Doplnenie, odčítanie a násobenie komplexných čísel sa vykonáva podľa zvyčajných pravidiel algebry.

nechať , , potom

suma ,

rozdiel ,

prácu ,

kvocient (s )

Príklad 1 Nastavte zložité čísla , ,

Nájsť , , ,

Rozhodnutie . ;

;

,

Úloha 1 . nechať a - pár zložitých čísiel konjugátu. Ukážte, že ich súčet je skutočné číslo, rozdiel je imaginárne číslo a produkt je skutočné nezáväzné číslo.




Príklad 2 Nájsť , ,

Rozhodnutie . ; ,

,

Poznámka. Stupne počtu môže byť zastúpená ako tabuľka

Príklad 3. Násobenie čísel a ,

Rozhodnutie .

Príklad 4. Vypočítajte a) ; b) ; c) ,

Rozhodnutie .

a) Otvorte rozdiel štvorca:

,

b) Otvorte sumu kocky:

,

c) podľa binomického čísla Newtona :

,

Mohlo by sa to považovať za: ,

Príklad 5. Nájdite súkromné ak ,

Rozhodnutie .

,

Príklad 6. Vypočítajte a) , b) ,

Rozhodnutie . a) ,

b) ,

Spomeňme si:

Geometrická interpretácia komplexného čísla.

Zoberme si karteziánsky obdĺžnikový súradnicový systém. Vložte skutočnú časť na os Obr komplexné číslo , a na osi y - jej imaginárnu časť , Získajte bod so súradnicami , Okrem toho, každé zložité číslo zodpovedá jednému bodu roviny. Opačný je pravdivý: každý bod lietadlám je možné priradiť zložité číslo ktorých skutočnou súčasťou je rovná bodke abscise a imaginárna časť rovnajúcemu sa bodu ordinácie. Preto je medzi komplikovanými číslami a bodmi roviny vytvorená jedna-k-jedna korešpondencia. (Predtým sme hovorili o individuálnej korešpondencii medzi reálnymi číslami a bodmi číselnej línie).

Rovina, ktorej body reprezentujú zložité čísla, sa nazýva komplexná rovina . Na rozlíšenie od skutočnej roviny v pravom hornom rohu napíšte písmeno Krúžil. Os osi osi osi v takejto rovine sa nazýva skutočná os a os osnice sa nazýva imaginárna os. Komplexné číslo konjugátu je zrkadlovým obrazom daného komplexného čísla o skutočnej osi. Pôvod sa nazýva nulový bod. Vzdialenosť komplexného čísla od pôvodu súradníc sa nazýva modul tohto čísla:



,

Problém 2. Preukážte to ,

Modul rozdielu dvoch komplexných čísel je vzdialenosť medzi zodpovedajúcimi bodmi:

,

Do každého bodu komplexnej roviny spájame vektor so začiatkom v nulovom bode a koncom v tomto bode. Je zrejmé, že táto korešpondencia je jedna ku druhej. V tejto interpretácii sú skutočné a imaginárne časti komplexného čísla prvou a druhou zložkou vektora. súčet je teraz reprezentovaná diagonálom paralelogramu postaveného na vektore a rozdiel chápané ako , Modulom komplexného čísla je dĺžka vektora. Geometricky zrejmé je trojuholníková nerovnosť v zložitom rovine: ,

Príklad 7. Zadajte miesto bodov na komplexnej rovine, pre ktorú

a) ; b) ;
c) ; g) ,

Rozhodnutie . a) od potom sa dá daná dvojitá nerovnosť prepísať vo forme: , Máš vertikálny prúžok.

b) od potom prepíše danú dvojitú nerovnosť vo forme: , Mám vodorovnú lištu. Úlohy c) a d) riešia nezávisle.

Príklad 8. Zadajte miesto bodov na komplexnej rovine, pre ktorú a) ; b) ; c) ,

Rozhodnutie . a) modul komplexného čísla Je dĺžka vektora od nuly do bodu , tj vzdialenosť od miesta pôvodu k bodu , Takže v prípade hovoríme o geometrickom umiestnení bodov v rovine rovnomerne od pôvodu - to je kruh (v tomto prípade je polomer kruhu 1). Bol možné preložiť problém do jazyka karteziánskych súradníc:

,

b) Tu hovoríme o geometrickom umiestnení bodov mimo okruhu polomeru (sústredené v mieste pôvodu).

c) body sú v kruhu medzi kruhmi polomeru a ,

Príklad 9. Uveďte miesto bodov na komplexnej rovine, pre ktorú a) ; b) ; c) ,

Rozhodnutie . a) rozdielový modul Je vzdialenosť medzi bodom komplexná rovina a bod 1. Takže hovoríme o geometrickom umiestnení bodov, ktoré sú rovnako vzdialené (vo vzdialenosti 1) od bodu 1, je kružnica o polomeru 1, ktorý je v bode (1; 0) centrovaný. V jazyku súradníc:

,

b) Body sú súčasne v kruhu so zameraním na pôvod a v kruhu s centrom presunula do bodu : ,

c) Ide o body pravého polovice lietadla ležiace v kruhu : ,

:

Trigonometrická forma komplexného čísla. Komplexný argument uhol volania ktorý tvorí vektor s pozitívnym smerom skutočnej osi, , Tento uhol je jednoznačne určený:

,

tu - hlavná hodnota argumentu, je zdôraznená nerovnosťami (t.j. rez sa uskutočňuje v komplexnej rovine pozdĺž skutočnej osi naľavo od pôvodu).

V prvom stĺpci špecifikované pre číslo ležiace na skutočnej alebo imaginárnej osi av druhom stĺpci - pre všetky ostatné zložité čísla.

naznačovať , Takže ako , , potom môže byť komplexné číslo zastúpené v trigonometrickej forme :

,

Dve zložité čísla a v trigonometrickej forme

, ,

v dôsledku nejednoznačnosti argumentu sú rovnaké, iba ak , ,

Príklad 10. Nájdite moduly a argumenty, ako aj hlavné hodnoty argumentov komplexných čísel , Napíšte každý z nich v trigonometrickom tvare.

Rozhodnutie . Moduly všetkých týchto čísel sú rovnaké:

,

Argument každého čísla sa nájde s prihliadnutím na štvrťrok, v ktorom zodpovedá daný bod.

1) Bod leží v prvom štvrťroku

,

V trigonometrickej forme počítané tu - frekvencia kosínusu a sinusu.

2) Bod leží v druhom štvrťroku

,

,

3) Bod leží v treťom štvrťroku

,

,

,

4) Bod je v štvrtom štvrťroku potom

,

,

,

Násobenie a delenie komplexných čísel v trigonometrickom tvare. Nechajte čísla a sú uvedené v trigonometrickom tvare: , , Vynásobte ich:

,

Pripomínajúc vzorce pre kosínus a sínus súčtu dvoch uhlov, dostaneme

, (1)

Vidíme, že keď vynásobíme zložité čísla, ich moduly sa vynásobia a pridajú sa argumenty. Geometrický význam tejto operácie: reprezentujúci čísla a vektory na komplexnej rovine pochádzajúcej od nulového bodu, vidíme, že vektor získané z vektora "Strečing" v jeden raz a uhol otočenia ,

Pre súkromné ​​dostávame vzorec:

, (2)

Príklad 11. Nájdite produkt a kvocient čísel

a ,

Rozhodnutie . Podľa vzorca (1) píšeme:

,

Skontrolujte výsledky vynásobením týchto čísel v algebrickej forme:

,

Podľa vzorca (2) nájdeme

,

V algebrickej forme bude táto operácia napísaná ako:

,

Zvýšenie komplexného čísla na výkon. Z vzorca (1) vyplýva, že exponentiácia komplexné číslo vyrobené podľa pravidla

, (3)

Príklad 12 Vypočítajte 1) ; 2) ,

Rozhodnutie . 1) Hore máme záznam o zložitom čísle v trigonometrickom tvare: , Podľa vzorca (3) nájdeme , Rovnaký výsledok sa získal vyššie v príklade 4c) s použitím binomického systému Newton.

2) Najprv uveďte číslo v trigonometrickom tvare.

, ,

bod je v štvrtom štvrťroku potom , teda

,

Zostáva používať vzorec (3):

,

Odhalenie rozdielovej kocky prinášame rovnaký výsledok (skontrolujte!).

na vzorec (3) sa zmení na vzorec Moivre :

, (4)

S jeho pomocou sa vzťahy ľahko získavajú vyjadrením sínusov a cosínov s viacerými uhlov a ,

Príklad 13 Expres a skrz a ,

Rozhodnutie . Uvedenie do vzorca Moivre , dostaneme:

,

Vľavo otvorte sumu kocky a zbierajte podobné členy:

,

Tu sa to berie do úvahy , Dosiahli sme rovnosť dvoch komplexných čísel v algebrickej forme.

,

čo je pravda, len ak sú skutočné a imaginárne časti týchto čísel rovnaké.

Rovnosť častí dáva ;

rovníme sa imaginárne časti, dostaneme ,

Extrahovanie koreňa z komplexného čísla. Ak sú zložité čísla a súvisí s potom , Predstavte si čísla a v trigonometrickom tvare:

, ,

Predpokladáme, že tu - hlavná hodnota čísiel argumentov ,

Našou úlohou je dané číslo (t.j. známymi a ) definovať (Tj a ). V súlade s rovnicou (3) napísané v

,

Z rovnosti dvoch komplexných čísel v trigonometrickej forme nasleduje:

,

tu koreň - sila skutočného negatívneho čísla. Takže pre koreň - sila komplexného čísla dostať vzorec

, (5)

Za predpokladu, že dôsledne získame rôzne významy :

,

,

,

Všetky tieto korene majú rovnaké moduly. , tj zodpovedajúce body sú umiestnené v okruhu polomeru v centre pôvodu. Argumenty dvoch priľahlých koreňov sa líšia uhlami , Takže všetky koreňové hodnoty - sila komplexného čísla sú v hornej časti pravice - zapísané v okruhu polomeru ,

Príklad 14. Nájdite všetky koreňové hodnoty - sila komplexného čísla a nakresliť ich na zložitú rovinu, ak

1) , 2) , 3) , 4) ,

Rozhodnutie . 1) Najprv nájdeme modul a argument komplexného čísla : , Vzorec (5) pre mať formu

,

odkiaľ ,

,

,

body sú na vrcholoch pravidelného trojuholníka napísaného v kruhu polomeru jednotky, jeden koreň je je skutočné číslo. Argumenty dvoch priľahlých bodov sa líšia uhlami , Všimnite si to ,

2) tu : to je dôvod

,

odkiaľ ,

,

,

body sú na vrcholoch pravidelného trojuholníka napísaného v kruhu koreň je skutočné číslo. Všimnite si to , Porovnaj s výsledkom Pr.12.2, kde ste dostali , tj ,

3) tu : a na

,

odkiaľ ,

,

4) tu a na

, odkiaľ dostaneme dve čísla:

, ,

Spomeňme si: ,

Úloha 3. Vykonajte úlohy pr.14, ak 1) , 2) ,

Príklad 15: Rozklad lineárneho trojitého termínu na lineárne faktory.

1) ; 2) ,

Rozhodnutie . 1) Zoberme do úvahy kvadratickú rovnicu , Jeho diskriminant , To znamená, že neexistujú žiadne skutočné korene. Z pr.14.4 vyplýva, že , Podľa vzorca pre korene kvadratickej rovnice , Prijali sa dva komplexné konjugované korene a , Podľa nájdených koreňov môžeme rozložiť štvorcové trinomálne v lineárnych faktoroch:

,

2) Zoberme do úvahy kvadratickú rovnicu , Jeho diskriminant neexistujú žiadne skutočné korene. Z pr.14.4 vyplýva, že , Podľa vzorca pre korene kvadratickej rovnice , Prijali sa dva komplexné konjugované korene a , Podľa nájdených koreňov rozkladáme štvorcový trinom na lineárne faktory:

,

Upozorňujeme na skutočnosť, že kvadratická rovnica s reálnymi koeficientmi má pár komplexných konjugovaných koreňov .

Úloha 4. Uistite sa, že sú rozdiely lineárneho faktora pravdivé.

; ; ,

Exponenciálna forma komplexného čísla. Eulerov vzorec (overenie neskôr) :

, (6)

umožňuje vám napísať zložité číslo v indikatívnej forme :

kde ,

Od Eulerovho vzorca a od - frekvencia sínusového a kosinusu by mala byť:

,

tým, , tj ,

Príklad 16 Čísla písať v exponenciálnej forme.

Rozhodnutie . V príklade 10 sa našiel ,

, , ,

, , , , ?

Je ľahké skontrolovať platnosť vzťahov:

Porovnajte tieto vzťahy s pravidlami násobenia, rozdelenia a zvyšovania sily komplexných čísel v trigonometrickom tvare.

Príklad 17. Porovnajte zložité čísla. a ,

Rozhodnutie. Od pr.16: , Majú čísla a moduly sú rovnaké. Zvýraznenie čísla viacnásobný termín zastupujeme v podobe ako multiplikátor , tým, ,