border=0


border=0

Euklidovský priestor

Dajte nám euklidovský priestor rozmerom , Dajme tiež metriku kde - skalárny súčin vektorov a , Vesmírny pohyb je bijektívna transformácia priestoru zachovanie vzdialenosti medzi vektormi, t.j. ,

Cvičenie. Bude ľubovoľná transformácia zachovávajúca dĺžku predstavovať bijekciu?

Veta. nechať - pohyb kde - ortogonálna transformácia a je nejaký vektor. Opak je tiež pravdou.
Dôkazom tejto vety bola v priebehu lineárnej algebry.

Zvážte súbor - všetky pohyby priestoru ,

Veta. - skupina týkajúca sa fungovania transformácie zloženia.
Dôkaz.
                nechať a potom - pohyb znova.
Transformácia jednotky je transformácia identity.
Inverzná transformácia je ,

Zvážte súbor - veľa všetkých zmien. Z formulácie poslednej vety vyplýva, že je podskupina v , Zvážime aj súbor - súbor všetkých ortogonálnych transformácií , táto skupina bude tiež podskupinou v ,
Podľa prvej vety má svojvoľná premena formu , V tejto položke je vektor jednoznačne definované, pretože , Preto je ortogonálna transformácia jednoznačne definované. Táto konverzia tzv. konverzný diferenciál a je označený ,
Z vzorca druhej vety máme toto , t.j. rozdiel má vlastnosť multipliktivity.

Veta. Mapovanie pohybu jeho rozdiel je epimorfizmus a jadro tohto epimorfizmu je rovnaké ,
Dôkaz.
                Skutočnosť, že ide o skupinový homomorfizmus, vyplýva z diferenciálneho multiplikatívneho vlastníctva. ak potom preto je tento homomorfizmus prídavný (t.j. je to epimorfizmus). Jadrom sú všetky pohyby, ktorých rozdiel sa rovná transformácii identity, t.j. všetky druhy pohybov , t.j. veľa zmien ,

Dôsledok. a ,

Ponuka. ,
Dôkaz.
                nechať - posun vektorom , spájame tento vektor s touto transformáciou , Potom ak - posun vektorom , - posun vektorom , Toto mapovanie na vektorovú transformáciu je preto dvojsmerné ,

Definícia. podskupina v nazývaný kryštalografický, ak
1) - diskrétna podskupina skupiny hodnosť ,
2) - konečná skupina.

Opisujeme všetky kryštalografické skupiny v dvojrozmernom prípade.

Ponuka. ak a potom ,
Dôkaz.
                nechať - posun o a - prepočet s diferenciálom , potom teda (Vzhľadom k tomu, - normálne).

nechať - základňa v (bude to tiež základ v celom lineárnom priestore ). V skupine všetky celočíselné kombinácie týchto vektorov ležia, t.j. celočíselná mriežka generovaná týmito vektormi. V predchádzajúcom cvičení sme to dokázali prekladá túto mriežku do seba. Matica ľubovoľného operátora celé číslo , t.j. je celé číslo.
Skupina nazýva sa priestorová skupina.
Skupina nazýva bodová skupina.

Veta. nechať a - skupina ortogonálnych operátorov s determinantom (tj obsahuje iba svoje vlastné transformácie). potom - cyklická skupina poriadku ,
Dôkaz.
                nechať - ortogonálny základ priestoru a potom jeho matica má tvar , Tiež jej stopa je celé číslo. teda , t.j. , Uvádzame všetky možné možnosti pre skupinu. v závislosti od toho, čo obsahuje:


otočí sa ležiace v skupine

prvky skupiny

poriadok

1

2

3

4


6

V tejto tabuľke nie sú všetky matice celé čísla, ale existujú bázy (pre každý prípad je to iné), takže tieto matice sú v nich celé číslo. Napríklad na základe kde je vektor relatívne rotoval na rohu rotačná matica bude mať formu (potom všetky matice v prípade skupiny rádu 3), a ak relatívne rotoval na rohu potom rotačná matica má tvar (potom všetky matice v prípade skupiny rádu 6 budú celé číslo).

Veta. nechať a , t.j. v dochádza k nesprávnej transformácii (transformácia determinantom) ), potom - jedna z týchto skupín:
1) ,
2) ,
3) cyklická skupina poriadku ,
Dôkaz.
                nechať a , ak a potom , je odraz vzhľadom k určitej osi, teda matici v určitom základe má formu ale v každom prípade máme ,
Máme to kde , - podskupina indexu 2 v teda a , pretože je opäť symetria okolo nejakej osi a pretože , Preto skupina - Toto je dvojstenná skupina.
V prípade táto skupina sa zmení na skupinu ,
V prípade toto je cyklická skupina rádu 2.

Teraz vám ukážeme, ako môžete získať všetky tieto možnosti skupiny. (nech - základ):
1) ak nie sú kolmé a majú rôzne dĺžky kde - centrálna symetria;
2) ak sú kolmé a potom majú rôzne dĺžky ;
3) ak sú kolmé a majú rovnakú dĺžku ;
4) ak nie sú kolmé, majú rovnaké dĺžky a netvoria pravidelný trojuholník ;
5) ak vytvorte pravidelný trojuholník ,
6) Prípustné sú aj podskupiny týchto skupín, takže sa získajú všetky nami označené skupiny.

Dvojrozmerný prípad je úplne rozobraný. Existuje tiež veta, ktorá tvrdí, že poradie konečnej podskupiny v skupine ortogonálnych matíc je ohraničené pre každú číslo (v prípade máme ), t. také skupiny konečné číslo pre všetky ,
Uvádzame opis (bez dôkazu) trojrozmerného prípadu:
nechať je konečná podskupina potom - je:
1) cyklická skupina poriadku ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ,





Prečítajte si tiež:

Skupina G a jej normálne podskupiny

Ľavá susedná trieda Pravá susedná trieda

Algebra s násobením sa nazýva Lieova algebra

Skupina G

Skupina non-abelian

Späť na obsah: Algebra

2019 @ edudocs.pro