border=0


border=0

Skupina G a jej normálne podskupiny

Definícia. nechať - skupina a jeho normálne podskupiny. potom je priamy ( interný ) produkt skupín ak každý prvok skupiny má tiež jeden nápad kde , určený (ak je operácia v skupine pridaná, potom - priama suma).

Cvičenie. Dokážte to ,

Ponuka. ak a , , potom ,
Dôkaz.
                Zvážte prepínač podobne , preto, , na základe jedinečnosti rozkladu to máme , t.j. ,

Dôsledok. nechať , potom a ,
Dôkaz.
, tu je prvok usporiadané s prvkami a na v ponuke.
Máme ,

Príklad.
kde - kruh polomeru jednotky, sú kladné reálne čísla. tj akékoľvek číslo reprezentatívny a navyše jednoznačne vo forme ,
Prednáška 7 (10/15/2001)

Veta. Skupina nepredstaviteľné ako priama suma.
Dôkaz. (naopak)
Predpokladajme, že kde potom , trvať a , , Uvažujme o prvku to a , Rozumiem a - rozpor s ,

Veta. nechať a , kde , potom ,
Dôkaz.
                Máme , preto, , t.j. je spoločný násobok objednávok prvkov , Takže minimum je - NOC objednávky.

Pozrime sa, ako sa konečné cyklické skupiny rozkladajú na priame súčty (práve sme dokázali, že nekonečné cyklické skupiny nemožno rozložiť, pretože sú izomorfné ).

Veta. ak - konečná skupina a , potom sú rovnocenné nasledujúce podmienky:
1) - cyklický;
2) - cyklické a ich objednávky vzájomne jednoduché.
Dôkaz.
, - sú podskupiny v preto sú cyklické. Ber svojvoľne , , , Nechať objednávky potom nie sú vzájomne jednoduché , potom , ako výsledok Lagrangeovej vety pretože , Preto poradie každého prvku , t.j. skupina nie cyklický. Dostal som do rozporu so skutočnosťou, že objednávky nie vzájomne jednoduché.
, Máme to a na , Vezmite prvok potom teda ,

Dodatok 1. Let je prvočíslo. Skupina cyklických rádov nerozkladateľné.

Dôsledok 2. Ak a potom ,
Dôkaz.
                Skupina pozostáva zo skupín a jeho poradie je rovnaké ako poradie je rovnaké ,





Prečítajte si tiež:

Skupina G

Definícia cyklickej podskupiny

Lineárny priestor

Skupina non-abelian

Ábelova skupina v algebre

Späť na obsah: Algebra

2019 @ edudocs.pro