border=0


border=0

Skupiny algebra

Definícia. skupina nazval nedoplatok súbor, v ktorom pre všetky dva prvky prvok je definovaný (produkt), navyše:
1) ;
2) ;
3) ,

Príklady skupín:
1) - nedegenerované matice veľkosti s komplexnými koeficientmi - skupina vzhľadom na fungovanie násobenia matíc;
2) - celé čísla - skupina súvisiaca s operáciou pridávania celých čísel;
3) dihedrálna skupina :
Zoberme si ortonormálny základ v rovine, dajte kruh polomeru jednotky so stredom na začiatku. Do toho napíšte správny -gon, ktorého jeden z vrcholov je na konci vektora , sú to všetky pohyby lietadla, ktoré to prekladajú -gon sám o sebe.
Uistite sa, že táto skupina bude skupinou, pokiaľ ide o zloženie pohybov:
1) zloženie pohybov je asociatívne;
2) pohyb identity možno považovať za jednotkový prvok;
3) ako inverzný prvok môžeme vziať opačný pohyb.
Pozrime sa na túto skupinu podrobnejšie. S akýmkoľvek takým pohybom, v strede -gon zostane na svojom mieste, preto ide o ortogonálnu transformáciu roviny, t.j. buď rotácia o určitý uhol, alebo symetria vzhľadom na určitú čiaru.
pretože pri otáčaní vrchu by mal ísť do nejakého vrcholu, potom rotácia môže byť iba pod uhlom kde , Označte rotačnú maticu pre , Ako symetria je vhodná napríklad symetria okolo osi matica takejto transformácie ,

Veta. Skupina pozostáva z prvky, a to a ,

Dôkaz.
Ako už bolo uvedené, rotácia môže byť iba v uhle kde , Píšeme maticu takejto rotácie: ale nič iné , teda - to sú všetky odbočky zahrnuté v skupine ,
Teraz je to nejaká symetria zo skupiny , potom tiež patrí do tejto skupiny, a to je ortogonálna matica a jej determinantom je , Ide teda o obrat, t. , pretože potom preto všetky symetrie z je to ,
Dokázali sme, že skupina obsahuje iba prvky , teraz dokazujeme, že všetky tieto prvky sú odlišné. Všetky položky iné, pretože toto sú zákruty pod rôznymi uhlami. ak potom to je nemožné. ak potom a už sme dokázali, že je to nemožné.
A posledné vyhlásenie vety. je roh , t.j. rovnaký pohyb. pretože , potom je to symetria vzhľadom na niektorú priamku, ale druhá mocnina symetrie je preto vždy rovnaký pohyb ,

Cvičenie. Dokážte to ,

4) uvádzame príklad inej skupiny - skupiny štvorkoliek , Zvážime matice ,

Cvičenie. Dokážte to , , , , Dokážte, že matice tvoria skupinu vzhľadom na operáciu násobenia matíc.

Cvičenie. Dokážte, že v akejkoľvek skupine je element jednotky jednoznačne definované pre akýkoľvek prvok inverzný prvok tiež jednoznačne definované.

Definícia. Skupinová objednávka nazýva sa počet prvkov v skupine ,

Cvičenie. Zvážte skupinu nedegenerované matice nad poľom z prvky. Dokážte, že jeho poradie je rovnaké ,

Definícia. nechať - skupina. Neprázdna podmnožina v nazýva sa podskupina, ak 1) ;
2) ,

Poznámka. Jeden prvok vždy patrí do ktorejkoľvek podskupiny. pretože nie je prázdny, potom je tu najmenej jeden prvok , Podľa majetku 2) , podľa vlastníctva 1) ,

Cvičenie. Dokážte, že v ktorejkoľvek skupine bude priesečníkom ľubovoľného počtu podskupín aj podskupina.

Príklady podskupín:
1) Skupina , Jej podskupiny: ; - reálne matice s určujúcou maticou; ; - jednotné matrice; - jednotkové matice s určujúcou maticou; - ortogonálne matrice; ; ( ; - podskupiny v skupine );
2) - permutačná skupina. (dokonca permutácie) je podskupina. V konkrétnom prípade, ak: veľa bude tiež podskupinou;
3) je skupina nenulových komplexných čísel s ohľadom na multiplikáciu. Jej podskupiny: - kruh kruhu; - korene jednoty.

Definícia. nechať je prvkom skupiny a je potom celé číslo ,

Veta. ak potom a ,

Cvičenie. Dokážte vetu.

Definícia. nechať , Prvok objednávky (označené symbolom alebo ) sa nazýva najmenší prírodný taký , Ak takéto číslo neexistuje, potom má prvok nekonečné poradie.

Cvičenie. Nájdite poradie prvkov ,

Ponuka. nechať , Pre celé číslo sú rovnocenné tieto podmienky:
1) ;
2) ,
Dôkaz.
, nechať , potom ,
, nechať kde potom , teda pretože inak by , teda , ,





Prečítajte si tiež:

Lineárny priestor

Homomorfizmus Monomorfizmus Epimorfizmus Izomorfizmus Automorfizmus v Algebre

Ábelova skupina v algebre

Weil Algebra

Algebra s násobením sa nazýva Lieova algebra

Späť na obsah: Algebra

2019 @ edudocs.pro