border=0


border=0

Ábelova skupina v algebre

Definícia. Ábelova skupina nazývaný konečne vygenerovaný, ak taký kde ,

Cvičenie. Dokážte to nie samozrejme vytvorené.

Definícia. Ábelova skupina sa nazýva zadarmo, ak má základ, t. taký súbor prvkov že ,

Veta. Ábelova skupina zadarmo vtedy a len vtedy, ak ,
Dôkaz.
, nechať - základ potom ak potom , , Vezmite mapovanie spravidla , je preto izomorfizmus ,
, nechať , Prezentujte základ v : potom ,

Definícia. Poradie voľnej abelianskej skupiny sa rovná počtu vektorov na základe.

Veta. Pozícia slobodnej abelianskej skupiny je jednoznačne definovaná.
Dôkaz.
                Túto vetu dokazujeme trochu nezvyčajným, ale krásnym spôsobom.
                nechať máme základ zvážte skupinu , nechať - homomorfizmus. ak potom , Týmto spôsobom jedinečne nastavené hodnotami na základné prvky: , V dôsledku toho bude mať rôzne homomorfizmy , Prepustiť existuje základ z prvky ,

Veta. nechať zadarmo abelianskej hodnostnej skupiny a - podskupina v , potom zadarmo abelianskej hodnostnej skupiny ,
Poznámka. V podobnej vete o dimenzii lineárnych priestorov z koincidencie dimenzií. podskupina sa časovo zhodovala so samotnou skupinou, ale tu to neplatí. Príklad: Skupina a podskupina mať hodnosť ,
Dôkaz. (indukciou)
, máme to a výrok vety je splnený, pretože akákoľvek nekonečná podskupina je izomorfný , t.j. bezplatná abelianska hodnosť ,
Nechaj na veta je dokázaná. Dokážeme to , nechať - základňa v , Zvážte súbor - lineárny plášť prvého základné prvky (je slobodná skupina Ábelov s bázami , Zvážte mapovanie tak, že ak potom , potom je epimorfizmus a , je podskupina v ,
ak potom a (za predpokladu indukcie) zadarmo abelianskej hodnostnej skupiny ,
ak potom , je bezplatná podskupina v na základe , (za predpokladu indukcie) je bezplatná podskupina v , prvok taký , Ukazujeme to - základňa v , ,
nechať potom , potom z toho dôvodu , tj a , Dokázali sme existenciu reprezentácie, zostáva preukázať jej jedinečnosť, na to stačí dokázať to od z toho vyplýva, že všetky , Máme a z našej rovnosti zostáva , Od tej doby - základňa v a všetky ďalšie faktory rovná nule.





Prečítajte si tiež:

Algebra s násobením sa nazýva Lieova algebra

Diskrétne podskupiny v algebre

Homomorfizmus Monomorfizmus Epimorfizmus Izomorfizmus Automorfizmus v Algebre

Weil Algebra

Lineárny priestor

Späť na obsah: Algebra

2019 @ edudocs.pro