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Grundlegende Definitionen und Theoreme. Geometrieklasse 8




  1. Ein Polygon ist eine Form, die aus Segmenten besteht, sodass benachbarte Segmente nicht auf einer geraden Linie liegen und nicht benachbarte Segmente keine gemeinsamen Punkte haben.
  2. Die Summe der Längen aller Seiten des Polygons wird als Umfang des Polygons bezeichnet.
  3. Zwei Eckpunkte eines Polygons, die zu einer Seite gehören, werden als benachbart bezeichnet.
  4. Das Segment, das zwei nicht benachbarte Eckpunkte verbindet, wird als Diagonale des Polygons bezeichnet.
  5. Ein Polygon heißt konvex, wenn es auf einer Seite jeder Linie liegt, die durch seine beiden benachbarten Eckpunkte verläuft.
  6. Die Summe der Winkel eines konvexen Winkels ist ( n –2) · 180 °.
  7. Ein Viereck ist ein Polygon mit vier Eckpunkten und vier Seiten.
  8. Zwei nicht benachbarte Seiten eines Vierecks werden als entgegengesetzt bezeichnet .
  9. Zwei nicht benachbarte Peaks werden als entgegengesetzt bezeichnet .
  10. Die Summe der Winkel eines konvexen Vierecks beträgt 360 °.
  11. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten paarweise parallel sind.
  12. ( Eigenschaften eines Parallelogramms ) In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich und gegenüberliegende Winkel gleich. Die Diagonalen eines Parallelogramms werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt.
  13. ( Parallelogrammzeichen ) Wenn zwei Seiten in einem Viereck gleich und parallel sind, dann ist dieses Viereck ein Parallelogramm.
  14. ( Parallelogrammzeichen ) Wenn die gegenüberliegenden Seiten in einem Viereck paarweise gleich sind, ist dieses Viereck ein Parallelogramm.
  15. ( Parallelogrammzeichen ) Wenn sich die Diagonalen in einem Viereck schneiden und der Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt ist, dann ist dieses Viereck ein Parallelogramm.
  16. Ein Trapez ist ein Viereck, in dem zwei Seiten parallel und die anderen beiden Seiten nicht parallel sind. Die parallelen Seiten des Trapezes werden Basen genannt , und die anderen beiden Seiten werden laterale Seiten genannt .
  17. Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn seine Seiten gleich sind.
  18. Ein Trapez heißt rechteckig, wenn eine seiner Ecken gerade ist.
  19. (T. Thales) Wenn auf einer der beiden Linien mehrere gleiche Segmente hintereinander angeordnet sind und parallele Linien, die die zweite Linie schneiden, durch ihre Enden gezogen werden, schneiden sie gleiche Segmente auf der zweiten Linie ab.
  20. Ein Rechteck ist ein Parallelogramm, in dem alle Winkel gerade sind.
  21. (Eine besondere Eigenschaft eines Rechtecks ) Die Diagonalen eines Rechtecks ​​sind gleich.
  22. (Vorzeichen eines Rechtecks) Wenn die Diagonalen in einem Parallelogramm gleich sind, ist dieses Parallelogramm ein Rechteck.
  23. Eine Raute wird als Parallelogramm bezeichnet, bei dem alle Seiten gleich sind.
  24. (Eine besondere Eigenschaft einer Raute) Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht zueinander und teilen ihre Winkel in zwei Hälften.
  25. Ein Quadrat ist ein Rechteck, in dem alle Seiten gleich sind.
  26. (Grundlegende Eigenschaften eines Quadrats) Alle Winkel eines Quadrats sind gerade. Die Diagonalen des Quadrats sind gleich, senkrecht zueinander, der Schnittpunkt ist in zwei Hälften geteilt und die Ecken des Quadrats in zwei Hälften geteilt.
  27. Zwei Punkte A und A 1 werden bezüglich der Linie a als symmetrisch bezeichnet, wenn diese Linie durch die Mitte des Segments AA 1 verläuft und senkrecht dazu ist.
  28. Zwei Punkte A und A 1 werden bezüglich Punkt O als symmetrisch bezeichnet , wenn O der Mittelpunkt des Segments AA 1 ist.
  29. ( Grundlegende Flächeneigenschaften ) Gleiche Polygone haben gleiche Flächen.
  30. Wenn ein Polygon aus mehreren Polygonen besteht, entspricht seine Fläche der Summe der Flächen dieser Polygone.
  31. Die Fläche des Quadrats ist gleich dem Quadrat seiner Seite (S = a 2 ).
  32. (T.) Die Fläche des Rechtecks ​​ist gleich dem Produkt seiner benachbarten Seiten (S = ab).
  33. (T.) Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus Basis und Höhe (S = ah).
  34. Die Fläche eines Dreiecks entspricht der Hälfte des Produkts aus Basis und Höhe (S = ah).
  35. Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist das halbe Produkt seiner Beine (S = ab).
  36. Wenn die Höhen zweier Dreiecke gleich sind, werden ihre Flächen als Basen behandelt.
  37. Wenn der Winkel eines Dreiecks gleich dem Winkel eines anderen Dreiecks ist, werden die Flächen dieser Dreiecke als die Produkte der Seiten bezeichnet, die gleiche Winkel einschließen.
  38. Die Fläche des Trapezes ist gleich dem Produkt der halben Summe seiner Basen nach Höhe (S = H).
  39. ( Satz des Pythagoras ) In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Beine. (c 2 = a 2 + b 2 )
  40. (Inverser Satz von Pythagoras) Wenn das Quadrat einer Seite eines Dreiecks gleich der Summe der Quadrate von zwei anderen Seiten ist, dann ist das Dreieck rechteckig.
  41. Ein Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5 wird als ägyptisches Dreieck bezeichnet .
  42. (Reiherformel) Die Fläche eines Dreiecks mit den Seiten a, b, c wird durch die Formel S = ausgedrückt wo p = (a + b + c) ist das Semiperimeter des Dreiecks.
  43. Die Segmente AB und CD sollen proportional zu den Segmenten A 1 B 1 und C 1 D 1 sein, wenn = .
  44. Zwei Dreiecke werden als ähnlich bezeichnet, wenn ihre Winkel jeweils gleich sind und die Seiten eines Dreiecks proportional zu den ähnlichen Seiten des anderen sind.
  45. Die Zahl k, die dem Verhältnis der ähnlichen Seiten solcher Dreiecke entspricht, wird als Ähnlichkeitskoeffizient bezeichnet .
  46. ( T. ) Das Verhältnis der Flächen zweier ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten.
  47. ( T. Das erste Zeichen der Ähnlichkeit von Dreiecken ) Wenn zwei Winkel eines Dreiecks jeweils zwei Winkeln eines anderen gleich sind, sind solche Dreiecke ähnlich.
  48. ( T. Das zweite Zeichen der Ähnlichkeit von Dreiecken ) Wenn zwei Seiten eines Dreiecks proportional zu zwei Seiten eines anderen Dreiecks sind und die zwischen diesen Seiten eingeschlossenen Winkel gleich sind, sind solche Dreiecke ähnlich.
  49. ( T. Das dritte Zeichen der Ähnlichkeit von Dreiecken ) Wenn die drei Seiten eines Dreiecks proportional zu den drei Seiten des anderen sind, dann sind solche Dreiecke ähnlich.
  50. Die Mittellinie eines Dreiecks ist die Linie zwischen den Mittelpunkten seiner beiden Seiten.
  51. (T. um die Mittellinie eines Dreiecks) Die Mittellinie eines Dreiecks verläuft parallel zu einer seiner Seiten und entspricht der Hälfte dieser Seite.
  52. Die Mediane des Dreiecks kreuzen sich an einem Punkt, der jeden Median in einem Verhältnis von 2: 1 von oben beginnend teilt.
  53. Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, die von der Spitze eines rechten Winkels gezogen wird, teilt das Dreieck in zwei ähnliche rechtwinklige Dreiecke, von denen jedes einem bestimmten Dreieck ähnlich ist.
  54. Das Segment XY wird als proportionaler Durchschnitt (oder geometrisches Mittel) für die Segmente AB und CD bezeichnet, wenn XY =
  55. Die Mittellinie des Trapezes ist ein Segment, das die Mittelpunkte seiner lateralen Seiten verbindet.
  56. (T. um die Mittellinie des Trapezes) Die Mittellinie des Trapezes verläuft parallel zu den Grundflächen des Trapezes und ist gleich ihrer Halbsumme.
  57. Das Verhältnis der Gegenseite zur Hypotenuse wird als Sinus des spitzen Winkels des rechten Dreiecks bezeichnet.
  58. Der Kosinus des spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der benachbarten Seite zur Hypotenuse.
  59. Die Tangente des spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite.
  60. Die Tangente eines Winkels ist gleich dem Verhältnis des Sinus zum Cosinus dieses Winkels.
  61. sin 2 A + cos 2 A = 1 ist die grundlegende trigonometrische Identität.
  62. Wenn der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Linie kleiner als der Radius des Kreises ist, haben die Linie und der Kreis zwei Punkte gemeinsam.
  63. Wenn der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Linie dem Radius des Kreises entspricht, haben die Linie und der Kreis einen gemeinsamen Punkt.
  64. Wenn der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Linie größer als der Radius des Kreises ist, haben die Linie und der Kreis keine gemeinsamen Punkte.
  65. Eine Linie mit nur einem gemeinsamen Punkt mit dem Kreis wird als Tangente an den Kreis bezeichnet, und ihr gemeinsamer Punkt wird als Tangentenpunkt der Linie und des Kreises bezeichnet.
  66. ( T. über die Eigenschaft einer Tangente an einen Kreis ) Eine Tangente an einen Kreis ist senkrecht zu dem Radius, der zum Tangentenpunkt gezogen wird.
  67. ( Eigenschaft von Tangentenliniensegmenten, die von einem Punkt aus gezeichnet werden ) Tangentenliniensegmente, die von einem Punkt aus gezeichnet werden, sind gleiche und gleiche Winkel, wobei eine gerade Linie durch diesen Punkt und den Mittelpunkt des Kreises verläuft.
  68. ( T. Zeichen einer Tangente ) Wenn eine Linie durch das Ende eines auf einem Kreis liegenden Radius verläuft und senkrecht zu diesem Radius ist, handelt es sich um eine Tangente
  69. Ein Bogen wird als Halbkreis bezeichnet, wenn das Segment, das seine Enden verbindet, der Durchmesser des Kreises ist.
  70. Der Winkel mit dem Scheitelpunkt in der Mitte des Kreises wird als zentraler Winkel bezeichnet .
  71. Der zentrale Winkel wird durch den Bogen gemessen, auf dem er ruht.
  72. Die Summe der Gradmaße zweier Kreisbögen mit gemeinsamen Enden beträgt 360 °.
  73. Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf einem Kreis liegt und dessen Seiten den Kreis schneiden, wird als Beschriftungswinkel bezeichnet .
  74. (T.) Der eingeschriebene Winkel wird durch die Hälfte des Bogens gemessen, auf dem er ruht.
  75. Die auf demselben Bogen basierenden Beschriftungswinkel sind gleich.
  76. Ein auf einem Halbkreis basierender Beschriftungswinkel ist eine gerade Linie.
  77. ( Satz über das Produkt von Segmenten sich kreuzender Akkorde ) Wenn sich zwei Akkorde eines Kreises schneiden, ist das Produkt von Segmenten eines Akkords gleich dem Produkt von Segmenten des anderen Akkords.
  78. Jeder Punkt der Winkelhalbierenden des unentwickelten Winkels ist von seinen Seiten gleich weit entfernt. Umgekehrt: Jeder Punkt, der in der Ecke liegt und gleich weit von den Seiten der Ecke entfernt ist, liegt auf seiner Winkelhalbierenden.
  79. Die Winkelhalbierenden des Dreiecks schneiden sich an einem Punkt.
  80. Die Mitte senkrecht zu einem Segment ist die Linie, die durch die Mitte dieses Segments und senkrecht dazu verläuft.
  81. (Satz in der Mitte senkrecht zu einem Segment) Jeder Punkt der Mitte senkrecht zu einem Segment ist von den Enden dieses Segments gleich weit entfernt. Umgekehrt: Jeder Punkt mit gleichem Abstand von den Enden des Segments liegt in der Mitte senkrecht dazu.
  82. Die mittleren Senkrechten zu den Seiten des Dreiecks schneiden sich an einem Punkt.
  83. Die Höhen des Dreiecks (oder deren Fortsetzung) schneiden sich an einem Punkt.
  84. Vier Punkte : Der Schnittpunkt der Mediane, der Schnittpunkt der Bisektoren, der Schnittpunkt der mittleren Senkrechten zu den Seiten und der Schnittpunkt der Höhen (oder ihrer Ausdehnungen) werden wunderbare Dreieckspunkte genannt .
  85. Wenn alle Seiten eines Polygons einen Kreis berühren, wird der Kreis in das Polygon eingeschrieben, und das Polygon wird als um diesen Kreis herum umschrieben beschrieben .
  86. ( Satz über einen in ein Dreieck eingeschriebenen Kreis ) Ein Kreis kann in ein beliebiges Dreieck eingeschrieben werden.
  87. In einem Dreieck kann nur ein Kreis eingegeben werden.
  88. Nicht jedes Viereck kann in einen Kreis passen.
  89. In jedem beschriebenen Viereck sind die Summen der gegenüberliegenden Seiten gleich.
  90. Wenn die Summen der gegenüberliegenden Seiten eines konvexen Vierecks gleich sind, kann ein Kreis eingegeben werden.
  91. Wenn alle Eckpunkte des Polygons auf einem Kreis liegen, wird der Kreis als um das Polygon herum umschrieben bezeichnet , und das Polygon wird in diesen Kreis eingeschrieben.
  92. (Satz auf einem Kreis, der um ein Dreieck umschrieben ist) Ein Kreis kann um ein beliebiges Dreieck beschrieben werden.
  93. In der Nähe eines Dreiecks kann nur ein Kreis beschrieben werden.
  94. Um ein Viereck ist es nicht immer möglich, einen Kreis zu beschreiben.
  95. In jedem beschrifteten Viereck beträgt die Summe der entgegengesetzten Winkel 180 °.
  96. Wenn die Summe der gegenüberliegenden Ecken eines Vierecks 180 ° beträgt, kann ein Kreis darum herum beschrieben werden.

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; Aufgenommen am : 2015-05-27 ; ; Ansichten: 141473 ; Verstößt veröffentlichtes Material gegen das Urheberrecht? | | Schutz personenbezogener Daten | AUFTRAG BESTELLEN


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